Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент (свой для каждого банка). В начале года 3/8 вклада, который составляет 800 тыс. руб. , вложили в первый банк, 1/8 во второй банк и оставшуюся часть вклада в третий банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 907 тыс. руб. Если бы первоначально 1/8 вклада положили в первый банк, 4/8 вклада - во второй банк, оставшуюся часть вклада - в третий банк, то к концу года сумма этих вкладов стала бы равна 894 тыс. руб. Если бы 4/8 вклада вложили в первый банк, 3/8 вклада - во второй банк, оставшуюся часть вклада - в третий банк, то к концу года сумма этих вкладов была бы равна 903 тыс. руб. Какой процент начисляет каждый банк?
Давайте обозначим неизвестные проценты для каждого банка как x, y и z.
Согласно условию задачи, мы можем составить следующую систему уравнений:
1. 3/8 * 800 тыс. руб. * (1 + x) + 1/8 * 800 тыс. руб. * (1 + y) + 4/8 * 800 тыс. руб. * (1 + z) = 907 тыс. руб.
2. 1/8 * 800 тыс. руб. * (1 + x) + 4/8 * 800 тыс. руб. * (1 + y) + 3/8 * 800 тыс. руб. * (1 + z) = 894 тыс. руб.
3. 4/8 * 800 тыс. руб. * (1 + x) + 3/8 * 800 тыс. руб. * (1 + y) + 1/8 * 800 тыс. руб. * (1 + z) = 903 тыс. руб.
Теперь давайте решим эту систему уравнений пошагово:
1. Приведем числители каждой дроби к общему знаменателю, умножив каждую дробь на 8:
3 * 800 тыс. руб. * (1 + x) + 800 тыс. руб. * (1 + y) + 4 * 800 тыс. руб. * (1 + z) = 907 * 8 тыс. руб.
2 * 800 тыс. руб. * (1 + x) + 4 * 800 тыс. руб. * (1 + y) + 3 * 800 тыс. руб. * (1 + z) = 894 * 8 тыс. руб.
4 * 800 тыс. руб. * (1 + x) + 3 * 800 тыс. руб. * (1 + y) + 800 тыс. руб. * (1 + z) = 903 * 8 тыс. руб.
2. Раскроем скобки:
2400 тыс. руб. * (1 + x) + 800 тыс. руб. * (1 + y) + 3200 тыс. руб. * (1 + z) = 7256 тыс. руб.
1600 тыс. руб. * (1 + x) + 3200 тыс. руб. * (1 + y) + 2400 тыс. руб. * (1 + z) = 7152 тыс. руб.
3200 тыс. руб. * (1 + x) + 2400 тыс. руб. * (1 + y) + 800 тыс. руб. * (1 + z) = 7224 тыс. руб.
3. Упростим уравнения:
2400 тыс. руб. + 2400 тыс. руб. * x + 800 тыс. руб. + 800 тыс. руб. * y + 3200 тыс. руб. + 3200 тыс. руб. * z = 7256 тыс. руб.
1600 тыс. руб. + 1600 тыс. руб. * x + 3200 тыс. руб. + 3200 тыс. руб. * y + 2400 тыс. руб. + 2400 тыс. руб. * z = 7152 тыс. руб.
3200 тыс. руб. + 3200 тыс. руб. * x + 2400 тыс. руб. + 2400 тыс. руб. * y + 800 тыс. руб. + 800 тыс. руб. * z = 7224 тыс. руб.
4. Сгруппируем слагаемые:
800 тыс. руб. * x + 800 тыс. руб. * y + 3200 тыс. руб. * z = 544 тыс. руб.
1600 тыс. руб. * x + 3200 тыс. руб. * y + 2400 тыс. руб. * z = 524 тыс. руб.
3200 тыс. руб. * x + 2400 тыс. руб. * y + 800 тыс. руб. * z = 518 тыс. руб.
5. Решим эту систему уравнений методом Крамера:
Сначала найдем определитель основной матрицы:
Определитель = 800 тыс. руб. * (800 тыс. руб. * 2400 тыс. руб. - 3200 тыс. руб. * 2400 тыс. руб.) + 800 тыс. руб. * (3200 тыс. руб. * 800 тыс. руб. - 2400 тыс. руб. * 2400 тыс. руб.) + 3200 тыс. руб. * (2400 тыс. руб. * 3200 тыс. руб. - 2400 тыс. руб. * 3200 тыс. руб.)
Определитель = 800 тыс. руб. * (1920000000 - 768000000) + 800 тыс. руб. * (2560000000 - 5760000000) + 3200 тыс. руб. * (7680000000 - 7680000000)
Определитель = 800 тыс. руб. * (1152000000) + 800 тыс. руб. * (-3200000000) + 3200 тыс. руб. * (0)
Определитель = 800 тыс. руб. * (-2048000000) + 3200 тыс. руб. * (0)
Определитель = -1638400000 * 800 тыс. руб.
Определитель = -1310720000000 тыс. руб.
Теперь найдем определитель для матрицы x:
Определитель x = 544 тыс. руб. * (800 тыс. руб. * 2400 тыс. руб. - 3200 тыс. руб. * 2400 тыс. руб.) + 800 тыс. руб. * (3200 тыс. руб. * 544 тыс. руб. - 2400 тыс. руб. * 544 тыс. руб.) + 3200 тыс. руб. * (2400 тыс. руб. * 2400 тыс. руб. - 2400 тыс. руб. * 3200 тыс. руб.)
Определитель x = 544 тыс. руб. * (1152000000) + 800 тыс. руб. * (1740800000 - 1315840000) + 3200 тыс. руб. * (5760000000 - 7680000000)
Определитель x = 544 тыс. руб. * (1152000000) + 800 тыс. руб. * (425907456) + 3200 тыс. руб. * (-1920000000)
Определитель x = 626688000000 + 340725964800 + (-6144000000)
Определитель x = 964949964800 тыс. руб.
Аналогичным образом найдем определители для матриц y и z:
Определитель y = 1600 тыс. руб. * (800 тыс. руб. * 2400 тыс. руб. - 3200 тыс. руб. * 2400 тыс. руб.) + 800 тыс. руб. * (3200 тыс. руб. * 1600 тыс. руб. - 2400 тыс. руб. * 1600 тыс. руб.) + 3200 тыс. руб. * (2400 тыс. руб. * 3200 тыс. руб. - 2400 тыс. руб. * 3200 тыс. руб.)
Определитель y = 1600 тыс. руб. * (1152000000) + 800 тыс. руб. * (2560000000 - 1920000000) + 3200 тыс. руб. * (7680000000 - 7680000000)
Определитель y = 1600 тыс. руб. * (1152000000) + 800 тыс. руб. * (640000000) + 3200 тыс. руб. * (0)
Определитель y = 1600 тыс. руб. * (1152000000) + 800 тыс. руб. * (640000000) + 3200 тыс. руб. * (0)
Определитель y = 1856000000000 тыс. руб.
Определитель z = 3200 тыс. руб. * (800 тыс. руб. * 2400 тыс. руб. - 3200 тыс. руб. * 2400 тыс. руб.) + 800 тыс. руб. * (3200 тыс. руб. * 3200 тыс. руб. - 2400 тыс. руб. * 3200 тыс. руб.) + 3200 тыс. руб. * (2400 тыс. руб. * 800 тыс. руб. - 2400 тыс. руб. * 3200 тыс. руб.)
Определитель z = 3200 тыс. руб. * (1152000000) + 800 тыс. руб. * (0) + 3200 тыс. руб. * (-1920000000)
Определитель z = 1664000000000 - 1536000000000
Определитель z = 128000000000 тыс. руб.
6. Теперь найдем значения x, y и z, разделив соответствующий определитель на основной определитель:
x = определитель x / основной определитель
y = определитель y / основной определитель
z = определитель z / основной определитель
x = 964949964800 тыс. руб. / (-1310720000000 тыс. руб.) ≈ -0.736
y = 1856000000000 тыс. руб. / (-1310720000000 тыс. руб.) ≈ -1.415
z = 128000000000 тыс. руб. / (-1310720000000 тыс. руб.) ≈ 0.097
7. Переведем полученные значения x, y и z в проценты, умножив на 100:
x ≈ -0.736 * 100 ≈ -73.6%
y ≈ -1.415 * 100 ≈ -141.5%
z ≈ 0.097 * 100 ≈ 9.7%
Таким образом, каждый банк начисляет проценты следующим образом:
Первый банк: примерно -73.6%
Второй банк: примерно -141.5%
Третий банк: примерно 9.7%