1) sin a = √2/2; a1 = pi/4+2pi*k; cos a1 = √2/2 a2 = 3pi/4+2pi*k; cos a2 = -√2/2 cos(60 + a1) = cos 60*cos a1 - sin 60*sin a1 = = 1/2*√2/2 - √3/2*√2/2 = √2/4*(1 - √3) = -√2(√3 - 1)/4 cos(60 + a2) = cos 60*cos a2 - sin 60*sin a2 = = -1/2*√2/2 - √3/2*√2/2 = -√2/4*(1 + √3) = -√2(√3 + 1)/4
2) sin a = 2/3; cos b = -3/4; a ∈ (pi/2; pi); b ∈ (pi; 3pi/2) cos a < 0; sin^2 a = 4/9; cos^2 a = 1-4/9 = 5/9; cos a = -√5/3 sin b < 0; cos^2 b = 9/16; sin^2 b = 1-9/16 = 7/16; sin b = -√7/4 sin(a+b) = sin a*cos b + cos a*sin b = = 2/3*(-3/4) + (-√5/3)(-√7/4) = -6/12 + √35/12 = (√35 - 6)/12 cos(-b) = cos b = -3/4
В итоге,существует расставить 2 ученикам 2 оценки (4 и 5).
А если прибавить к ним еще одного ученика - С. То:
А Б С 4 4 4 5 5 5 4 4 5 4 5 5 5 5 4 5 4 4 4 5 4 5 4 5
В итоге получаем
А что если, оставим тех же 2 учеников, но добавим 1 оценку - 3?
А вот что получим:
А Б 3 3 4 4 5 5 3 4 4 3 4 5 5 4 3 5 5 3
В итоге, мы получили
Нет смысла, добавлять 3 ученика. Уже и так можно увидеть закономерность.
В 1 раз, мы имели 2 ученика и 2 оценки, отметим это как: В 2 раз, мы имели 3 ученика и 2 оценки, отметим это как: В 3 раз, мы имели 2 ученика и 3 оценки, отметим это как:
А теперь, выведем формулу: - где a-число оценок, b-число учеников.
В итоге и получаем: 1 случай: 2 случай: 3 случай:
Теперь, вычислим наш случай в задаче. Есть 24 ученика = b, и 4 оценки=a (2,3,4,5). Отсюда:
Второй
Для первого ученика существует 4 варианта: 2,3,4,5 Для второго ученика существует 4 варианта на каждый вариант первого ученика. То есть: - варианта событий.
Для третьего ученика существует 4 варианта на каждый вариант второго ученика. То есть: - варианта событий.
И так далее. В итоге получаем, что для 24 учеников существует ровно:
- где a-число оценок, b-число учеников.
- варианта событий.
- варианта событий.
- вариантов событий.
x1 = cos(π/9)
x2 = cos(5π/9)
x3 = cos(7π/9)
Объяснение:
Предположим, что x > 1
Тогда
x^3 > x
x^3 - x > 0
6x^3 -6x > 0
Таким образом:
8x^3 -6x - 1 = 2x^3 + 6x^3 - 6x - 1 >= 2x^3 - 1 > 0
Если же x < - 1, то x^3<-1
6x^3 - 6x < 0
8x^3 -6x - 1 = 2x^3 + 6x^3 - 6x - 1 <= 2x^3 - 1 < 0
Как видим, если действительное решение существует, то оно принадлежит интервалу:
1<=x<=-1
То есть можно сделать замену:
x = cost
При этом достаточно рассмотреть интервал:
0<=t <= π
8х^3 – 6х – 1 =0
2(4x^3 - 3x) - 1 = 0
2*(4cos^3(t) - 3cos(t) ) - 1 = 0
Заметим, что:
4cos^3(t) - 3cos(t) = cos(3t)
Откуда получаем:
2cos(3t) - 1 = 0
cos(3t) = 1/2
3t = +-π/3 +2πn
t = +-π/9 +2πn/3, где n∈Z
0<=+-π/9 +2πn/3<= π
0 <=6n +- 1 <= 9
Подойдет n = 0 и n = 1
При n = 0 подойдет решение:
t1 = π/9
Откуда:
x1 = cos(t1) = cos(π/9) ≈ 0,94
При n = 1 имеем еще два решения:
t2 = - π/9 + 2π/3 = 6π/9 - π/9 = 5π/9
x2 = cos(5π/9) ≈ - 0.17
t3 = π/9 + 2π/3 = 6π/9 + π/9 = 7π/9
x3 = cos(7π/9) ≈ - 0,77