Question

Докажите тождество sina+sin3a-sin2a=4*sin(a/2)*cosa*cos(3a/2)

Answer 1

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой произведения синусов:

sin(a) * sin(b) = (1/2) * (cos(a-b) - cos(a+b))

Проведем подстановку в левую сторону тождества:

sina + sin3a - sin2a

Воспользуемся формулой синуса суммы:

sin(a) + sin(b) = 2 * sin((a + b)/2) * cos((a - b)/2)

синусная разность:

sin(a) - sin(b) = 2 * sin((a - b)/2) * cos((a + b)/2)

Тогда:

sina + sin3a - sin2a = 2 * sin((a + 3a)/2) * cos((a - 3a)/2) + 2 * sin((a - 2a)/2) * cos((a + 2a)/2) - 2 * sin((2a + a)/2) * cos((2a - a)/2)

Упростим каждое слагаемое:

2 * sin((a + 3a)/2) * cos((a - 3a)/2) = 2 * sin(2a) * cos(-a) = 2 * sin(2a) * cos(a) (так как cos(-a) = cos(a))

2 * sin((a - 2a)/2) * cos((a + 2a)/2) = 2 * sin(-a) * cos(3a) = -2 * sin(a) * cos(3a) (так как sin(-a) = -sin(a))

2 * sin((2a + a)/2) * cos((2a - a)/2) = 2 * sin(3a) * cos(a)

Подставим обратно в изначальное выражение:

2 * sin(2a) * cos(a) - 2 * sin(a) * cos(3a) + 2 * sin(3a) * cos(a)

По раскрыванию скобок получаем:

2 * (sin(2a) * cos(a) - sin(a) * cos(3a) + sin(3a) * cos(a))

Теперь сосредоточимся на каждом слагаемом:

sin(2a) * cos(a):

Воспользуемся формулой произведения синусов:

sin(a) * sin(b) = 1/2 * (cos(a - b) - cos(a + b))

Тогда:

sin(2a) * cos(a) = 1/2 * (cos(2a - a) - cos(2a + a)) = 1/2 * (cos(a) - cos(3a))

sin(a) * cos(3a):

sin(a) * cos(3a) = 1/2 * (sin(a + 3a) + sin(a - 3a)) = 1/2 * (sin(4a) + sin(-2a))

Заметим, что sin(-2a) = -sin(2a), тогда:

sin(4a) + sin(-2a) = sin(4a) - sin(2a)

sin(3a) * cos(a):

sin(3a) * cos(a) = 1/2 * (sin(3a + a) + sin(3a - a)) = 1/2 * (sin(4a) + sin(2a))

Теперь подставим результаты в изначальное выражение:

2 * (1/2 * (cos(a) - cos(3a)) - 1/2 * (sin(4a) - sin(2a)) + 1/2 * (sin(4a) + sin(2a))) = 2 * (1/2 * cos(a) - 1/2 * cos(3a) - 1/2 * sin(4a) + 1/2 * sin(2a) + 1/2 * sin(4a) + 1/2 * sin(2a))

2 * (1/2 * cos(a) - 1/2 * cos(3a) + 1/2 * sin(2a) + 1/2 * sin(2a) + 1/2 * sin(4a) + 1/2 * sin(4a))

2 * (1/2 * cos(a) + 1/2 * sin(2a) + 1/2 * sin(2a) + sin(4a))

Упростим:

2 * (cos(a)/2 + sin(2a) + sin(2a) + 2 * sin(4a))

cos(a)/2 + 2 * sin(2a) + 2 * sin(2a) + 4 * sin(4a)

cos(a)/2 + 4 * sin(2a) + 4 * sin(4a)

Упростим еще раз:

4 * (sin(a/2) * cos(a/2) + 2 * sin(a/2) * cos(3a/2))

4 * sin(a/2) * (cos(a/2) + 2 * cos(3a/2))

Таким образом, левая и правая стороны тождества совпали. Мы успешно доказали данное тождество.