Question

Найдите количество решений уравнения, прикрепил в файле,

Answer 1

$\sin {}^{2} ( \frac{x}{2} ) + \cos {}^{2} ( \frac{x}{2} ) - \sqrt{2} \cos(3x) = 0 \\ \\ \sin {}^{2} ( \frac{x}{2} ) + \cos {}^{2} ( \frac{x}{2} ) = 1 \\ \\ 1 - \sqrt{2} \cos(3x) = 0 \\ \sqrt{2} \cos(3x) = 1 \\ \cos(3x) = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ 3x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi \: n \\ x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi \: n}{3}$

n принадлежит Z.

на промежутке:

$x_1 = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi \: n}{3} \\ \\ - \frac{\pi}{6} \leqslant \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi \: n}{3} \leqslant \frac{\pi}{6} \: \: \: | \times \frac{12}{\pi} \\ - 2 \leqslant 1 + 8n \leqslant 2 \: \: \: | - 1 \\ - 3 \leqslant 8n \leqslant 1 \\ - \frac{3}{8} \leqslant \: n \leqslant \frac{1}{8} \\ n = 0 \\ x_1 = \frac{\pi}{12} \\ \\ x_2 = - \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi \: n}{3} \\ \\ - \frac{\pi}{6} \leqslant - \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi \: n}{3} \leqslant \frac{\pi}{6} \: \: \: | \times \frac{12}{\pi } \\ - 2 \leqslant - 1 + 8n \leqslant 2 \\ - 1 \leqslant 8n \leqslant 3 \\ - \frac{1}{8} \leqslant n \leqslant \frac{3}{8} \\ n = 0 \\ x_2 = - \frac{\pi}{12}$

2 корня