Question

Решить тригонометрическое неравенство. нужно sin(4x)+cos(4x)*ctg(2x)> 1 зарание !

Answer 1

представьте ctg(2x) как cos(2x)/sin(2x)

Answer 2

Для решения данного тригонометрического неравенства, начнем с преобразования выражений.

Используем формулы тригонометрии:

1) cot(x) = cos(x) / sin(x)
2) sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Теперь, подставим данные формулы в данное уравнение:

sin(4x) + cos(4x) * (cos(2x) / sin(2x)) > 1

Умножим обе части неравенства на sin(2x), чтобы избавиться от рациональных выражений:

sin(4x) * sin(2x) + cos(4x) * cos(2x) > sin(2x)

Используем формулу для cos(a-b):

cos(a-b) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b)

Применяем эту формулу:

cos(4x - 2x) > sin(2x)

Сократим:

cos(2x) > sin(2x)

Перенесем все в одну сторону:

0 > sin(2x) - cos(2x)

Используем формулу для sin(a-b):

sin(a-b) = sin(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b)

Применим эту формулу:

0 > -cos(2x)

Инвертируем знак на обеих сторонах неравенства:

cos(2x) > 0

Выражение cos(2x) > 0 истинно в двух случаях:

1) когда 2x лежит в первом и втором квадранте,
2) когда 2x лежит в третьем и четвертом квадранте.

В первом случае, 0 < 2x < pi/2, а во втором случае, pi < 2x < 3pi/2.

Для первого случая решение:

0 < 2x < pi/2

разделим все на 2:

0 < x < pi/4

Для второго случая решение:

pi < 2x < 3pi/2

Снова разделим все на 2:

pi/2 < x < 3pi/2

Таким образом, получаем два интервала решений:

1) 0 < x < pi/4,
2) pi/2 < x < 3pi/2.