Question

Вычислить интеграл ((квадратный кореньиз х)+1))dx / корень шестой степени из х в 7ой +корень шестой степенииз х в 5ой

Answer 1

$I=\int{\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt[6]{x^7}+\sqrt[6]{x^5}}\, dx\ =\ \int{\frac{6t^5(t^3+1)}{t^7+t^5}}\, dt;$

Здесь мы сделали замену переменной:

$t=\sqrt[6]{x}.$

Тогда x = t⁶,  dx = 6t⁵dt

Продолжаем искать интеграл с новой переменной и сократив на t⁵, приходим к виду:

$I=\int{\frac{6(t^3+1)}{t^2+1}}\, dt=6\int{\frac{t^3}{t^2+1}}\, dt+6\int{\frac{1}{t^2+1}}}\, dt=3\int{\frac{z}{z+1}}\, dz+6arctgt;$

Где z = t²

$I=3\int{\frac{(z+1)-1}{z+1}}\, dz+6arctgt=3z-3ln|z+1|+6arctgt+C;$

Возвращаемся к переменной х и получаем ответ:

$I=3\sqrt[3]{x}-3ln|\sqrt[3]{x}+1|+6arctg\sqrt[6]{x}+C.$