Question

1)log32x-10log3x+21=0 2)log22x+4log2x+3=0 3)log1/3(5x-9) ≥ log1/3 4x выражение: 1) sin(π/3+t)-√3/2 cos t 2) 1-(sin2t cost)/2sint 3) ctg t sin(-t) + cos (2π-t) 4) cos2t / (cost + sint)-cos t

Answer 1

3)  ОДЗ: 5х-9>0  и  4х>0   

               x>9/5       x>0

Т.к. основание логарифма 1/3<1, то знак неравенства меняется

5x-9<=4x

x<=9

xє(9/5; 9]

1) ОДЗ: х>0

log3 x=t, то t^2-10t+21=0,  t1=7,  t2=3

log3 x=7   или log3 x=3

x=3^7                x=3^3

2) Аналогично 

ОДЗ:  х>0

log2 x=t, то  t^2+4t+3=0,  t1=-3, t2=-1 - не удовлетворяют ОДЗ

Нет корней

Answer 2

Добрый день!

Для решения уравнений с логарифмами, мы должны использовать логарифмические свойства и алгоритмы, чтобы избавиться от логарифмов и выразить неизвестные значения. Давайте решим уравнения поочередно:

1) log32x - 10log3x + 21 = 0

Давайте сначала объединим два логарифма:
log32x - log3x^10 + 21 = 0

Затем, используем логарифмическое свойство, которое гласит, что log(a) - log(b) = log(a/b):
log3(2x / x^10) + 21 = 0

Сокращаем выражение внутри логарифма:
log3(2 / x^9) + 21 = 0

Теперь применяем логарифмическое свойство, которое позволяет нам преобразовать уравнение в экспоненциальную форму:
3^(log3(2 / x^9)) = 3^(-21)

2 / x^9 = 3^(-21)

Теперь решим уравнение относительно x:
x^9/2 = (3^(21))^-1

x^9/2 = 1 / (3^21)

Теперь возьмем обе стороны уравнения в 2/9 степень, чтобы избавиться от дроби:
(x^9/2)^(2/9) = (1 / (3^21))^(2/9)

x^(9*2/9) = 1 / (3^(21*2/9))

x^2 = 1 / (3^(14/3))

x = sqrt(1 / (3^(14/3)))

Получили значение x. Если нужно, можно рассчитать его приближенное значение.

2) log22x + 4log2x + 3 = 0

Также объединим два логарифма:
log2(2x) + log2(x^4) + 3 = 0

Применяем логарифмическое свойство:
log2(2x * x^4) + 3 = 0

Упрощаем выражение внутри логарифма:
log2(2x^5) + 3 = 0

Теперь используем логарифмическое свойство:
2x^5 = 2^(-3)

Упрощаем правую часть уравнения:
2x^5 = 1/8

Теперь решаем уравнение относительно x:
x^5 = 1/16

x = (1/16)^(1/5)

Получаем значение x.

3) log1/3(5x-9) ≥ log1/3(4x)

Сначала объединим два логарифма:
log1/3((5x-9) / (4x)) ≥ 0

Сократим выражение внутри логарифма:
log1/3((5x-9)/(4x)) ≥ 0

Теперь используем логарифмическое свойство, чтобы избавиться от логарифма:
(5x-9)/(4x) ≥ 1

Распространим неравенство:
5x-9 ≥ 4x

Вычитаем 4x из обеих сторон:
x-9 ≥ 0

Добавляем 9 к обеим сторонам:
x ≥ 9
В результате получаем, что x должно быть больше или равно 9.

4) sin(π/3+t)-√3/2 cos t

Данное выражение можно упростить, используя тригонометрические тождества:

sin(π/3+t)-√3/2 cos t = sin(π/3) cos t + cos(π/3) sin t -√3/2 cos t

Так как sin(π/3) = √3/2 и cos(π/3) = 1/2, то получаем:

= (√3/2) cos t + (1/2) sin t -√3/2 cos t

Сокращаем (√3/2)cos t в каждом слагаемом:
= - (√3/2) cos t + (1/2) sin t

Таким образом, итоговое упрощенное выражение будет:
- (√3/2) cos t + (1/2) sin t

5) 1-(sin2t cost)/2sint

Данное выражение также можно упростить, используя тригонометрические тождества:

1-(sin2t cos t) / (2 sin t) = 1 - (sin(2t) cos t) / (2 sin t)

Мы знаем, что sin(2t) = 2 sin t cos t, поэтому:

1 - (sin(2t) cos t) / (2 sin t) = 1 - ((2 sin t cos t) cos t) / (2 sin t)

Сокращаем на 2sin t в числителе и знаменателе:
1 - cos^2 t = sin^2 t

Итоговое упрощенное выражение:
sin^2 t

6) ctg t sin(-t) + cos (2π-t)

Сначала, заметим, что sin(-t) = -sin t и cos(2π-t) = cos t. Подставляем значения и упрощаем выражение:

ctg t sin(-t) + cos (2π-t) = ctg t * (-sin t) + cos t

Известно, что ctg t = 1 / tan t, поэтому можем запистсать:

ctg t * (-sin t) + cos t = (-sin t) / (tan t) + cos t

Теперь можем упростить полученное выражение, используя тангенс:
(-sin t) / (tan t) + cos t = (-sin t) / ((sin t) / (cos t)) + cos t

Делим на sin t и упрощаем:
(-sin t) / ((sin t) / (cos t)) + cos t = - cos t + cos t = 0

Таким образом, итоговое упрощенное выражение равно 0.

7) cos2t / (cost + sint)-cos t

Изначально упростим если sin^2 t + cos^2 t = 1:
cos2t / (cost + sint)-cos t = cos2t / (sqrt(1 - sin^2 t) + sint) - cos t

Теперь, чтобы избавиться от знаменателя, мы можем умножить обе части уравнения на (sqrt(1 - sin^2 t) + sint):

cos2t = ((cost + sint) * (sqrt(1 - sin^2 t) + sint))) * cos t

Далее раскрываем скобки и проводим упрощения:
cos2t = (cost * sqrt(1 - sin^2 t)) + sint * cost + (sint * sqrt(1 - sin^2 t)) + sint * sint * cost

Упрощаем выражение и объединяем однотипные слагаемые:
cos2t = (cost * sqrt(1 - sin^2 t) + sint * sqrt(1 - sin^2 t)) + (sint^2 + sint) * cost

Используем тригонометрическую тождественность sin^2 t + cos^2 t = 1:
cos2t = (cost * sqrt(cos^2 t) + sint * sqrt(cos^2 t)) + (sint^2 + sint) * cost

cos2t = (cost * cos t + sint * cos t) + (sint^2 + sint) * cost

cos2t = cos t * (cost + sint) + (sint^2 + sint) * cost

cos2t = (cost + sint) * (cos t + sint)

Таким образом, итоговое упрощенное выражение:
(cos t + sint)^2

Надеюсь, я смог ответить на ваш вопрос достаточно подробно и понятно для школьника. Если есть еще вопросы, пожалуйста, обращайтесь!