Question

Напиши уравнение касательной к графику функции
f(x)=x2+4x+8 в точке с абсциссой x0=2.

Answer 1

Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x0 можно найти, используя производную функции в этой точке.

1. Начнем с нахождения производной функции f(x). Возьмем производную каждого элемента функции по отдельности:
f'(x) = (2x + 4)

2. Теперь найдем значение производной в точке x0=2. Подставим значение x0 в выражение для производной:
f'(2) = (2(2) + 4) = 8

3. Коэффициент при x в уравнении касательной будет равен значению производной в точке x0:
k = f'(2) = 8

4. Теперь найдем значение функции в данной точке. Подставим значение x0 в исходное уравнение функции f(x):
f(2) = (2^2 + 4(2) + 8) = 20

5. Итак, мы получили коэффициент k=8 и значение функции f(2)=20 для уравнения касательной.

6. Уравнение касательной можно записать в форме y = kx + b, где k - коэффициент наклона касательной, а b - значение функции в точке x0.

7. Подставим полученные значения k=8 и точку (x0, f(x0)) = (2, 20) в уравнение касательной:
y = 8x + b

8. Найдем b, подставив координату (x0, f(x0)) в уравнение:
20 = 8(2) + b
20 = 16 + b
b = 20 - 16
b = 4

9. Итак, у нас есть коэффициент наклона k=8 и значение свободного члена b=4 для уравнения касательной.

10. Окончательно, уравнение касательной к графику функции f(x)=x^2+4x+8 в точке с абсциссой x0=2 будет:
y = 8x + 4