Question

Решыте 1d)f) и нужно с решением не просто ответ

Answer 1

1.

d)

$\sqrt{5 - \sin(x) } = 6 \sin(x) - 1 \\ \\ \text{ОДЗ:} \\ 5 - \sin(x) \geqslant 0 \\ \sin(x) \leqslant 5 \\ \text{х - любое число окружности} \\ \\ \sqrt{5 - \sin(x) } = 6\sin(x) - 1 \\ 5 - \sin(x) = (6 \sin(x) - 1) {}^{2} \\ 5 - \sin(x) = 36 \sin {}^{2} (x) - 12 \sin(x) + 1 \\ 36 \sin {}^{2} (x) - 11 \sin(x) - 4 = 0 \\ \\ \sin(x) = t \\ \\ 36t {}^{2} - 11 t - 4 = 0 \\ D = 121 + 576 = 697\\ t_1 = \frac{11 + \sqrt{697} }{72} \\ t_2 = \frac{11 - \sqrt{697} }{72} \\ = t = \frac{11\pm \sqrt{697} }{72} \\ \\ \sin(x) = \frac{11\pm \sqrt{697} }{72} \\ x = {( - 1)}^{ n} arcsin( \frac{11\pm \sqrt{697} }{72} ) + \pi \: n$

n принадлежит Z.

f)

$\sin(3x) + \sin(x) - \sin(2x) = 2 \cos {}^{2} (x) - 2 \cos(x) \\ 2\sin( \frac{3x + x}{2} ) \cos( \frac{3x - x}{2} ) - \sin(2x) - 2 \cos {}^{2} (x) + 2 \cos( x ) = 0 \\ 2 \sin(2x) \cos(x) - \sin(2x) - 2 \cos {}^{2} (x) + 2 \cos(x) = 0 \\ \cos(x) (2 \sin(2x) - 2 \sin(x) - 2 \cos(x) + 2) = 0 \\ \cos(x) ( \sin(2x) - \sin(x) - \cos(x) + 1) = 0 \\ \\ \cos(x) = 0 \\ x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi \: n \\ \\ \sin(2x) - \sin(x) - \cos(x) + 1 = 0 \\ \text{Тригонометрическая замена:} \\t = tg \frac{x}{2} \\ \sin(x) = \frac{2t}{1 + t {}^{2} } \\ \cos(x) = \frac{1 - {t}^{2} }{1 + {t}^{2} } \\ \\ 2 \times \frac{2t}{1 + {t}^{2} } \times \frac{1 - {t}^{2} }{1 + {t}^{2} } - \frac{2t}{1 + {t}^{2} } - \frac{1 - {t}^{2} }{1 + {t}^{2} } + 1 = 0 \\ \frac{4t(1 - {t}^{2} )}{(1 + {t}^{2} ) {}^{2} } - \frac{2}{1 + {t}^{2} } - \frac{1 - {t}^{2} }{1 + {t}^{2} } + 1 = 0 \\ 4 t(1 - {t}^{2} ) - 2(1 + {t}^{2} ) - (1 - {t}^{2} )(1 + {t}^{2} ) + (1 - {t}^{2} )(1 + {t}^{2} ) = 0 \\4 t - 4 {t}^{3} - 2 - 2 {t}^{2} = 0 \\ t_1 = 0 \\ t_2 = 1 \\ t_3 = 1 + \sqrt{2} \\ t_4 = 1 - \sqrt{2} \\ \\ tg \frac{x}{2} = 0 \\ \frac{x}{2} = \pi \: n \\ x_2 = 2 \pi \: n \\ \\ tg \frac{x}{2} = 1 \\ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi \: n \\ x_3 = \frac{\pi}{2} + 2\pi \: n \\ \\ tg \frac{x}{2} = 1\pm \sqrt{2} \\ \frac{x}{2} = arctg(1\pm \sqrt{2} ) + \pi \: n \\ x_4 = 2arctg(1\pm \sqrt{2} ) + 2\pi \: n \\ \\ \\ \text{ответ:} \\ x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi \: n \\ x_2 = 2 \pi \: n \\ x_3 = 2arctg(1\pm \sqrt{2}) + 2 \pi \: n$

n принадлежит Z.

2.

$\sin {}^{2} (x) - (3a - 3) \sin(x) + a(2a - 3) = 0 \\$

квадратное уравнение имеет корни, когда дискриминант больше или равен 0.

$D = {(3a - 3)}^{2} - 4a(2a - 3) \geqslant 0 \\ 9 {a}^{2} - 18a + 9 - 8 {a}^{2} + 12a \geqslant 0 \\ {a}^{2} - 6 a + 9 \geqslant 0 \\ {(a - 3)}^{2} \geqslant 0 \\ \\ \\ = \text{а - любое число}$

ответ: а - любое число.

3.

$2 \cos {}^{2} (x) + \cos(x) = 0 \\ \cos(x) (2 \cos(x) + 1) = 0 \\ \\ \cos(x) = 0 \\ x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi \: n \\ \\ \cos(x) = - \frac{1}{2} \\ x_2 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi \: n$

Отметим корни на окружности:

рисунок

при а = 4П/3