Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число.
Если одно слагаемое делится на некоторое число, а другое слагаемое не делится на это число, то и вся сумма не делится на это число.
1.
Пусть 
- пять последовательных натуральных чисел, тогда их сумма равна:
Очевидно, что каждое слагаемое 
и 
делится на 5, а это означает, что вся сумма делится на 5.
Доказано.
2.
Пусть 
- четыре последовательных натуральных числа, тогда их сумма равна:
Очевидно, что первое слагаемое 
делится на 4, а второе слагаемое 
не делится на 4, это означает, что вся сумма не делится на 4.
Доказано.
3.
Пусть 
- четыре последовательных нечётных натуральных числа, тогда их сумма равна:
Очевидно, что каждое слагаемое 
и 
делится на 8, а это означает, что вся сумма делится на 8.
Доказано.
4.
Пусть 
; 
- четыре последовательных чётных натуральных числа, тогда их сумма равна:
Очевидно, что каждое слагаемое и 
делится на 4, а это означает, что вся сумма делится на 4.
Доказано.
Объяснение:
1) f(x)=2e^x+3x² f'(x)=2e^x+6x
2) f(x)= x sinx. f'(x)= sinx+xcosx
3) у = (3х – 1)(2 – х) y'=3(2 – х)+(3х – 1)×(-1)=6-3x-3x+1=-6x+7
4) y=9x²-cosx y'= 18x+sinx
5) y=e^x-x^7 y'= e^x-7x^6
7) f '(1), f(x)=3x2-2x+1. f'(x)=6x-2; f'(1)=6-2=4
8) у = х²(3х^5 – 2) ; х0 = – 1. у' =(3x^7-2x²)'=21x^6-4x
y'(-1)=21+4=25
9) f '( ), f(x)=(2x-1)cosx=2cosx-(2x-1)sinx
10) f '(1), f(x)=(3-x²)(x²+6)= -2x(x²+6)+2x(3-x²) = -4x³ -6x
11) f '(1), f(x)=(x^4-3)(x²+2), f'(x)=3x³ (x²+2)+2x(x^4-3)=5x^5+6x³-6x