М
Молодежь
К
Компьютеры-и-электроника
Д
Дом-и-сад
С
Стиль-и-уход-за-собой
П
Праздники-и-традиции
Т
Транспорт
П
Путешествия
С
Семейная-жизнь
Ф
Философия-и-религия
Б
Без категории
М
Мир-работы
Х
Хобби-и-рукоделие
И
Искусство-и-развлечения
В
Взаимоотношения
З
Здоровье
К
Кулинария-и-гостеприимство
Ф
Финансы-и-бизнес
П
Питомцы-и-животные
О
Образование
О
Образование-и-коммуникации
taganrog123
taganrog123
15.12.2022 20:34 •  Алгебра

Найти первообразную
f(x)=6/5√4x+2+1/cos^2 5x

👇
Ответ:
СРОЧНО3333
СРОЧНО3333
15.12.2022

\frac85x\sqrt x + 2x + \frac15 \text{tg}\, 5x + C.

Объяснение:

f(x)=\frac65\sqrt{4x} + 2 + \frac{1}{\cos^2 5x};\\F(x) = \int \frac65\sqrt{4x} + 2 + \frac{1}{\cos^2 5x}\, \text{d}x;\\\\\int \frac65\sqrt{4x} + 2 + \frac{1}{\cos^2 5x}\, \text{d}x = \frac65 \int \sqrt{4x} \, \text{d}x + 2 \int \text{d} x + \int \frac{\text{d}x}{\cos^2 5x};\\\\ 1)\ \frac65 \int \sqrt{4x} \, \text{d}x = \frac652\int\sqrt{x}\, \text{d}x = \frac{12}5 \int x^\frac12 \, \text{d}x = \frac{12\cdot 2x^\frac32}{3\cdot5} = \frac85x^\frac32 = \frac85x\sqrt x + C.\\\\2)\ 2\int \text{d}x = 2x + C.

3)\ \int \frac{\text{d} x}{\cos^2 5x} = \frac{1}{5} \int \frac{\text{d}(5x)}{\cos^25x} = \frac15 \text{tg}\,5x + C.\\\\F(x) = \frac85x\sqrt x + 2x + \frac15 \text{tg}\, 5x + C.

4,4(64 оценок)
Ответ:
Lera123yf
Lera123yf
15.12.2022
Добрый день! Рад быть вашим учителем на сегодняшний урок математики.

Для того чтобы найти первообразную данной функции f(x), нам потребуется использовать некоторые методы интегрирования. Давайте разобьем эту задачу на две части:

1) ∫(6/5√4x+2)dx
2) ∫(1/cos^2 5x)dx

Приступим сначала к первой части:

1) ∫(6/5√4x+2)dx

Давайте вначале разложим 6/5√4x+2 следующим образом:

6/5√4x+2 = 6/5 * 1/√4x+2

Теперь заметим, что 1/√4x+2 = 1/(2√(x+1/2)).

Применим теперь замену переменной u = x+1/2. Тогда du/dx = 1, и dx = du.

∫(6/5 * 1/(2√(x+1/2)))dx = ∫(3/5 * 1/√u)du

Теперь, используя замену переменной, получаем:

∫(3/5 * 1/√u)du = (3/5) ∫(1/√u)du

Для вычисления данного интеграла достаточно знать, что ∫(1/√u)du = 2√u + C, где C - постоянная интегрирования.

Подставим наше значение обратно:

(3/5) ∫(1/√u)du = (3/5) * (2√u + C) = 6/5√u + C'

где C' = (3/5)C - это новая постоянная интегрирования.

Теперь перейдем ко второй части задачи:

2) ∫(1/cos^2 5x)dx

Для решения данного интеграла воспользуемся формулой интегрирования ∫(1/cos^2 u)du = ∫(sec^2 u)du = tan u + D, где D - постоянная интегрирования.

Теперь заменим u на 5x:

∫(1/cos^2 5x)dx = ∫(sec^2 5x)dx = (1/5)tan 5x + E,

где E - новая постоянная интегрирования.

Теперь объединим результаты по двум частям:

Итого, первообразная для функции f(x) = 6/5√4x+2 + 1/cos^2 5x равна

6/5√u + C' + (1/5)tan 5x + E.

Надеюсь, ответ был понятен и полезен для вас, и он поможет вам решать подобные задачи в будущем. Если у вас возникнут еще вопросы - не стесняйтесь задавать их!
4,7(58 оценок)
Проверить ответ в нейросети
Это интересно:
Новые ответы от MOGZ: Алгебра
logo
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси Mozg
Открыть лучший ответ