Question

Найти первообразную
f(x)=6/5√4x+2+1/cos^2 5x

Answer 1

$\frac85x\sqrt x + 2x + \frac15 \text{tg}\, 5x + C.$

Объяснение:

$f(x)=\frac65\sqrt{4x} + 2 + \frac{1}{\cos^2 5x};\\F(x) = \int \frac65\sqrt{4x} + 2 + \frac{1}{\cos^2 5x}\, \text{d}x;\\\\\int \frac65\sqrt{4x} + 2 + \frac{1}{\cos^2 5x}\, \text{d}x = \frac65 \int \sqrt{4x} \, \text{d}x + 2 \int \text{d} x + \int \frac{\text{d}x}{\cos^2 5x};\\\\ 1)\ \frac65 \int \sqrt{4x} \, \text{d}x = \frac652\int\sqrt{x}\, \text{d}x = \frac{12}5 \int x^\frac12 \, \text{d}x = \frac{12\cdot 2x^\frac32}{3\cdot5} = \frac85x^\frac32 = \frac85x\sqrt x + C.\\\\2)\ 2\int \text{d}x = 2x + C.$

$3)\ \int \frac{\text{d} x}{\cos^2 5x} = \frac{1}{5} \int \frac{\text{d}(5x)}{\cos^25x} = \frac15 \text{tg}\,5x + C.\\\\F(x) = \frac85x\sqrt x + 2x + \frac15 \text{tg}\, 5x + C.$

Answer 2

Добрый день! Рад быть вашим учителем на сегодняшний урок математики.

Для того чтобы найти первообразную данной функции f(x), нам потребуется использовать некоторые методы интегрирования. Давайте разобьем эту задачу на две части:

1) ∫(6/5√4x+2)dx
2) ∫(1/cos^2 5x)dx

Приступим сначала к первой части:

1) ∫(6/5√4x+2)dx

Давайте вначале разложим 6/5√4x+2 следующим образом:

6/5√4x+2 = 6/5 * 1/√4x+2

Теперь заметим, что 1/√4x+2 = 1/(2√(x+1/2)).

Применим теперь замену переменной u = x+1/2. Тогда du/dx = 1, и dx = du.

∫(6/5 * 1/(2√(x+1/2)))dx = ∫(3/5 * 1/√u)du

Теперь, используя замену переменной, получаем:

∫(3/5 * 1/√u)du = (3/5) ∫(1/√u)du

Для вычисления данного интеграла достаточно знать, что ∫(1/√u)du = 2√u + C, где C - постоянная интегрирования.

Подставим наше значение обратно:

(3/5) ∫(1/√u)du = (3/5) * (2√u + C) = 6/5√u + C'

где C' = (3/5)C - это новая постоянная интегрирования.

Теперь перейдем ко второй части задачи:

2) ∫(1/cos^2 5x)dx

Для решения данного интеграла воспользуемся формулой интегрирования ∫(1/cos^2 u)du = ∫(sec^2 u)du = tan u + D, где D - постоянная интегрирования.

Теперь заменим u на 5x:

∫(1/cos^2 5x)dx = ∫(sec^2 5x)dx = (1/5)tan 5x + E,

где E - новая постоянная интегрирования.

Теперь объединим результаты по двум частям:

Итого, первообразная для функции f(x) = 6/5√4x+2 + 1/cos^2 5x равна

6/5√u + C' + (1/5)tan 5x + E.

Надеюсь, ответ был понятен и полезен для вас, и он поможет вам решать подобные задачи в будущем. Если у вас возникнут еще вопросы - не стесняйтесь задавать их!