2(x² + x + 1)² - 7(x - 1)² = 13(x³ - 1)
Введём две новые переменные:
u = x² + x + 1
v = x - 1
Тогда уравнение примет вид:
2u² - 13uv - 7v² = 0
Это однородное уравнение второй степени, делим обе части на v²
2u² - 13uv - 7v² = 0 / v²
2*(u/v)² - 13*(u/v) - 7 = 0
Замена: u/v = y
2y² - 13y - 7 = 0
D = 169 - 4*2*(-7) = 225
y₁ = (13 + 15) / 4 = 7
y₂ = (13 - 15) / 4 = -1/2
Значит, u/v = 7 отсюда u = 7v
или u/v = -1/2 отсюда v = -2u
Вернёмся к переменной x с соотношением u = 7v:
x² + x + 1 = 7(x - 1)
x² + x + 1 = 7x - 7
x² - 6x + 8 = 0
x₁ = 2; x₂ = 4
Вернёмся к переменной x с соотношением v = -2u:
x - 1 = -2(x² + x + 1)
x - 1 = -2x² - 2x - 2
2x² + 3x + 1 = 0
D = 9 - 4*2*1 = 1
x₁ = (-3 + 1) / 4 = -1/2
x₂ = (-3 - 1) / 4 = -1
ответ: 2; 4; -1; -1/2
ответ: Нет.
Из условия следует, что f(x) = (x – a)(x – b), где a ≠ b.
Пусть искомый многочлен f(x) существует.
Тогда, очевидно f(f(x)) = (x – t1)²(x – t2)(x – t3).
Заметим, что t1, t2, t3 — корни уравнений f(x) = a и f(x) = b, при этом корни этих уравнений не совпадают, поэтому можно считать, что уравнение f(x) = a имеет один корень x = t1.
Рассмотрим уравнение f(f(f(x))) = 0. Его решения, очевидно, являются решениями уравнений f(f(x)) = a и f(f(x)) = b. Но уравнение f(f(x)) = a равносильно уравнению f(x) = t1 и имеет не более двух корней, а уравнение f(f(x)) = b — не более четырех корней (как уравнение четвертой степени).
То есть уравнение f(f(f(x))) = 0 имеет не более 6 корней.