Хорошо, давайте найдем наименьшее значение функции y=(3x^2+21x-21)*e^x на отрезке [-5;3].
1. Сначала найдем производную функции y и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки. Для этого вычислим производную функции y по переменной x:
y' = (6x + 21 + (3x^2 + 21x - 21)) * e^x = (6x + 21 + 3x^2 + 21x - 21) * e^x = (3x^2 + 27x) * e^x.
2. Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
(3x^2 + 27x) * e^x = 0.
Так как e^x всегда положительно, то уравнение (3x^2 + 27x) = 0.
3. Факторизуем уравнение (3x^2 + 27x) = 0:
3x(x + 9) = 0.
Два множителя равны нулю только в двух случаях:
3x = 0 => x = 0,
x + 9 = 0 => x = -9.
Получили две критические точки: x = 0 и x = -9.
4. Теперь нужно проверить значения функции y на концах отрезка [-5;3] и в найденных критических точках (x = 0 и x = -9).
a) Для x = -5:
y = (3*(-5)^2 + 21*(-5) - 21) * e^(-5).
y = (3*25 - 105 - 21) * e^(-5).
y = (75 - 105 - 21) * e^(-5).
y = -51 * e^(-5).
b) Для x = 3:
y = (3*3^2 + 21*3 - 21) * e^3.
y = (3*9 + 63 - 21) * e^3.
y = (27 + 63 - 21) * e^3.
y = 69 * e^3.
c) Для x = -9:
y = (3*(-9)^2 + 21*(-9) - 21) * e^(-9).
y = (3*81 - 189 - 21) * e^(-9).
y = (243 - 189 - 21) * e^(-9).
y = 33 * e^(-9).
d) Для x = 0:
y = (3*0^2 + 21*0 - 21) * e^0.
y = (0 + 0 - 21) * e^0.
y = -21.
5. Для нахождения наименьшего значения функции y на отрезке [-5;3] необходимо сравнить значения функции y и выбрать минимальное из них. В данном случае, нам потребуется сравнить значения -51 * e^(-5), 69 * e^3, 33 * e^(-9) и -21.
Произведения e^(-5), e^3 и e^(-9) положительны, так как e^x всегда положительно при любом x. Можно упростить сравнение, не учитывая эти множители:
-51 * e^(-5), 69 * e^3, 33 * e^(-9) и -21.
1. Сначала найдем производную функции y и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки. Для этого вычислим производную функции y по переменной x:
y' = (6x + 21 + (3x^2 + 21x - 21)) * e^x = (6x + 21 + 3x^2 + 21x - 21) * e^x = (3x^2 + 27x) * e^x.
2. Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
(3x^2 + 27x) * e^x = 0.
Так как e^x всегда положительно, то уравнение (3x^2 + 27x) = 0.
3. Факторизуем уравнение (3x^2 + 27x) = 0:
3x(x + 9) = 0.
Два множителя равны нулю только в двух случаях:
3x = 0 => x = 0,
x + 9 = 0 => x = -9.
Получили две критические точки: x = 0 и x = -9.
4. Теперь нужно проверить значения функции y на концах отрезка [-5;3] и в найденных критических точках (x = 0 и x = -9).
a) Для x = -5:
y = (3*(-5)^2 + 21*(-5) - 21) * e^(-5).
y = (3*25 - 105 - 21) * e^(-5).
y = (75 - 105 - 21) * e^(-5).
y = -51 * e^(-5).
b) Для x = 3:
y = (3*3^2 + 21*3 - 21) * e^3.
y = (3*9 + 63 - 21) * e^3.
y = (27 + 63 - 21) * e^3.
y = 69 * e^3.
c) Для x = -9:
y = (3*(-9)^2 + 21*(-9) - 21) * e^(-9).
y = (3*81 - 189 - 21) * e^(-9).
y = (243 - 189 - 21) * e^(-9).
y = 33 * e^(-9).
d) Для x = 0:
y = (3*0^2 + 21*0 - 21) * e^0.
y = (0 + 0 - 21) * e^0.
y = -21.
Найденные значения функции y:
y(-5) = -51 * e^(-5),
y(3) = 69 * e^3,
y(-9) = 33 * e^(-9),
y(0) = -21.
5. Для нахождения наименьшего значения функции y на отрезке [-5;3] необходимо сравнить значения функции y и выбрать минимальное из них. В данном случае, нам потребуется сравнить значения -51 * e^(-5), 69 * e^3, 33 * e^(-9) и -21.
Произведения e^(-5), e^3 и e^(-9) положительны, так как e^x всегда положительно при любом x. Можно упростить сравнение, не учитывая эти множители:
-51 * e^(-5), 69 * e^3, 33 * e^(-9) и -21.
Теперь сравним значения:
-51 * e^(-5) ≈ -2.21,
69 * e^3 ≈ 42435.54,
33 * e^(-9) ≈ 0.000000027,
-21.
Получаем, что наименьшее значение функции на отрезке [-5;3] равно примерно -2.21, и оно достигается в точке x = -5.
Таким образом, наименьшее значение функции y=(3x^2+21x-21)*e^x на отрезке [-5;3] примерно равно -2.21.