В решении.
Объяснение:
Построить график функции
y=2x² - 2
Указать:
1) Область определения функции;
2) Множество значений функции;
3) Те значения x, при которых y > 0.
Приравнять уравнение к нулю и решить как квадратное уравнение.
2x² - 2 = 0
2х² = 2
х² = 2/2
х² = 1
х = ±√1
х = ±1.
График функции - парабола со смещённым центром, пересекает ось Ох в точках (-1; 0) и (1; 0) - нули функции.
Построить график. Придать значения х, подставить в уравнение, вычислить значения у, записать в таблицу.
Таблица:
х -3 -2 -1 0 1 2 3
у 16 6 0 -2 0 6 16
1. Указать область определения.
Это проекция графика на ось Ох, значения х, при которых функция существует, обозначение D(f) или D(у).
По графику видно, что область определения ничем не ограничена, х может быть любым.
Запись: D(у) = х∈R (значения х - множество всех действительных чисел).
2) Указать множество значений функции.
Множество значений данной функции может быть ограничено только вершиной параболы, обозначение: E(f) или E(у).
Согласно графика, ордината (значение у) вершины параболы = -2, это значение является ограничением, верх параболы не ограничен, поэтому множество значений функции от у= -2 до + бесконечности.
Запись: E(у) = (-2; +∞).
3) Указать значения x, при которых y > 0.
Согласно графика, значения х, при которых у > 0 (график выше оси Ох) от - бесконечности до -1 и от 1 до + бесконечности.
Запись: у > 0 при х∈(-∞; -1)∪(1; +∞).
Объяснение:
а) х=2 это вертикальная асимптота. Это точка разрыва, т. е. это будет та точка, в которой знаменатель равен 0, т.к. на 0 делить нельзя. Следовательно
2·2+b=0; b=-4
y=3 - это горизонтальная асимптота. К этому значению стремится предел функции. Тогда
Применяя правило Лопиталя, будем иметь
b)
i)
Как видим, к требуемому виду функция не приводится, т.к. 3≠-2
ii) В точках пересечения с осью у абцисса равна 0. Подставляем в уравнение, находим у:
A(0;-2.75) - точка пересечения с осью у
В точках пересечения с осью х ордината равна 0. Решаем уравнение
- точка пересечения с осью х.
iii) Дополнительно исследуем функцию в точке разрыва
Схематически строим график
у=2х-4
2х²-3х(2х-4)+(2х-4)²=12
2х²-6х²+12х+4х²-16х+16=12
-4х=-4
х=1
у=2*1-4=2-4=-2