Question

На доске написаны числа 1 и 3. Каждую минуту Вася заменяет одно из чисел на их среднее арифметическое, а другое — на их среднее гармоническое. Однажды на доске появилось число 32592/18817. Чему в этот момент было равно второе число? В качестве ответа введите обыкновенную дробь (не обязательно несократимую).

Answer 1

Давайте разберемся в пошаговом решении этой задачи.

Начнем с того, что мы имеем два числа на доске: 1 и 3.

Первым шагом Вася заменяет одно из чисел на их среднее арифметическое, а другое число на среднее гармоническое. То есть Вася делает следующую замену:

Среднее арифметическое = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2
Среднее гармоническое = 2 / (1/1 + 1/3) = 2 / (3/3 + 1/3) = 2 / (4/3) = 2 * 3/4 = 6 / 4 = 3/2

Таким образом, после первой минуты на доске остаются числа 2 и 3/2.

После второй минуты Вася делает те же самые замены:

Среднее арифметическое = (2 + 3/2) / 2 = (4/2 + 3/2) / 2 = 7/2 / 2 = 7/4
Среднее гармоническое = (7/2) / (1/(3/2) + 1/3) = (7/2) / (2/3 + 1/3) = (7/2) / (3/3) = (7/2) / 1 = 7/2

Таким образом, после второй минуты на доске остаются числа 7/4 и 7/2.

Мы видим, что после каждой минуты числа становятся все больше и больше. Поэтому для нахождения второго числа, когда на доске появилось число 32592/18817, мы будем продолжать этот процесс замены чисел и нахождения среднего арифметического и гармонического.

На данном этапе мы можем воспользоваться калькулятором или программой для нахождения следующего шага, так как расчет может быть довольно длительным.

На третьем шаге среднее арифметическое равно: (7/4 + 7/2) / 2 = (7/4 + 14/4) / 2 = 21/4 / 2 = 21/8
Среднее гармоническое равно: (21/4) / (1/(7/2) + 1/3) = (21/4) / (2/3 + 1/3) = (21/4) / (3/3) = (21/4) / 1 = 21/4

Таким образом, после третьей минуты на доске остаются числа 21/8 и 21/4.

Мы продолжим эти вычисления до тех пор, пока не достигнем числа 32592/18817.

На определенном шаге, предположим, после n-й минуты, на доске остаются числа a и b. Тогда на следующий шаг:

Среднее арифметическое = (a + b) / 2
Среднее гармоническое = a / (1/b + 1/a)

Теперь давайте используем данное правило для упрощения решения. После третьей минуты у нас есть числа 21/8 и 21/4. Они не равны и, которое является средним арифметическим, меньше (21/8 + 21/4) / 2 = (42/8) / 2 = 42/16 = 21/8. Поэтому третьим числом будет 21/4.

Таким образом, когда на доске появилось число 32592/18817, второе число было равно 21/4.