Обозначим cлагаемые за Х,У,Z
(X+Y+Z)/3>=1
Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом достаточно доказать :
ХУZ>=1
Вернемся к исходным обозначениям
8abc>=(a+b)(b+c)(a+c)
Снова согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом видим
a+b>=2sqrt(ab) b+c>=2sqrt(сb) (a+c)>=2sqrt(ac)
поэтому можим заменить сомножители справа на произведение
2sqrt(ab)*2sqrt(aс)*2sqrt(сb)=8abc, что и доказывает неравенство.
Равенство достигается только при а=с=b
Подкоренное выражение всегда больше или равно ноля. Имеем:
x = 0, x = -0.5. Воспользуемся методом интервалов:
+ - +
--------(-0.5)-------(0)-------->
Т.к. у нас знак "больше", нам нужны участки только с плюсом. Получаем:
x ∈ (-∞; -0.5] ∪ [0; +∞) - это и есть значения переменной, при которых выражение имеет смысл