1. Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свой ответ. [8] а) x 2+8x+16< 0 ;
b) -2 x 2 +x-3≤0;
c) x 2-7x+12≤0 ;
d) - x 2+x+2<0.
Неравенство не имеет решений.
Решением неравенства является вся числовая прямая.
Решением неравенства является одна точка.
Решением неравенства является закрытый промежуток.
Решением неравенства является открытый промежуток
Решением неравенства является объединение двух промежутков
x ∈{-2} ∪ [2;7]
Объяснение:
1) Найдём нули функции у₁ = х²-5х-14:
х²-5х-14 = 0
х₁,₂ = 5/2 ± √(25/4 +14) = 5/2 ± √(81/4) = 5/2 ± 9/2
х₁ = 5/2 + 9/2 = 14/2 = 7
х₂ = 5/2 - 9/2 = - 4/2 = -2
Графиком функции у₁ = х²-5х-14 является парабола, ветви которой направлены вверх; следовательно, у₁ = х²-5х-14 ≤0 на участке
x ∈ [-2; 7].
2) Неравенство х² ≥ 4 эквивалентно неравенству: х²- 4 ≥ 0.
Найдём нули функции у₂ =х²- 4:
х²- 4 = 0
х² = 4
х = ± √4
х₃ = - 2
х₄ = 2
Графиком функции у₂ = х²- 4 является парабола, ветви которой направлены вверх; функция у₂ = х²- 4 больше или равна нулю на участках:
x ∈(-∞; -2] ∪ [2;+∞)
3) Объединяем полученные решения, для чего на числовой оси отмечаем точки х₂ = -2; х₃ = -2; х₄ = 2; х₁ = 7 и находим перекрываемые области значений, одновременно удовлетворяющие неравенству х²-5х-14 ≤ 0 и неравенству х² ≥ 4:
x ∈{-2} ∪ [2;7]
ответ: x ∈{-2} ∪ [2;7]