Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у=f(x) на заданных промежутках: 1. у=х3-12х+4 а)  б)
2. у=1+3х- а)  , б)
3. у=х3-х2+3х-11 а)  б)
4. у=х4-8х+3 а)  б)
5. у=х4-4х3-8х2+ 13 а)  б)
6. у=х+ а)  б)
7. у=х2- а)  б)
8. у=х2+ а)  б)
а) Для начала найдем экстремумы функции, т.е. точки, в которых значение функции достигает наибольшего или наименьшего значения. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю: у'=3х^2-12.
3х^2-12=0
3х^2=12
х^2=4
х=±2
Таким образом, функция имеет две критические точки: х=2 и х=-2.
Далее, найдем значения функции у в найденных точках:
у(2)=(2)^3-12(2)+4=8-24+4=-12
у(-2)=(-2)^3-12(-2)+4=-8+24+4=20
Следовательно, на промежутке а) функция у наибольшее значение равно 20, а наименьшее значение равно -12.
б) Для промежутка б) нам необходимо найти значения функции на границах этого промежутка. Если промежуток б) не указан, то самыми "крайними" значениями будут -∞ и +∞.
Проще говоря, функция может принимать любые значения в данном случае.
2. Для функции у=1+3х-.
а) Найдем экстремумы: у'=3.
Поскольку значение производной постоянно и не зависит от х, то нет точек, где значение функции достигает наибольшего или наименьшего значения.
Следовательно, на промежутке а) функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
б) Для промежутка б) функция также не имеет наибольшего, ни наименьшего значения.
3. Для функции у=х^3-х^2+3х-11.
а) Найдем экстремумы: у'=3х^2-2х+3.
Для определения точек экстремума найдем дискриминант квадратного уравнения: D=(-2)^2-4(3)(3)=4-36=-32.
Поскольку значение дискриминанта отрицательно, то квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, функция не имеет критических точек и, соответственно, не имеет наибольшего и наименьшего значения на промежутке а).
б) Для промежутка б) функция также не имеет наибольшего, ни наименьшего значения.
4. Для функции у=х^4-8х+3.
а) Найдем экстремумы: у'=4х^3-8.
Для определения точек экстремума приравняем производную к нулю:
4х^3-8=0
4х^3=8
х^3=2
х=∛2
Таким образом, функция имеет одну критическую точку х=∛2.
Далее, найдем значение функции у в найденной точке:
у(∛2)=(∛2)^4-8(∛2)+3=2^2-8√2+3=4-8√2+3=7-8√2.
Таким образом, на промежутке а) функция имеет наибольшее значение равное 7-8√2, а наименьшее значение отсутствует.
б) Для промежутка б) функция не имеет наибольшего, ни наименьшего значения.
5. Для функции у=х^4-4х^3-8х^2+ 13.
а) Найдем экстремумы: у'=4х^3-12х^2-16х.
Заметим, что у'=4х(х^2-3х-4)=4х(х-4)(х+1).
Таким образом, критические точки функции имеются в х=0, х=4 и х=-1.
Далее, найдем значения функции у в найденных точках:
у(0)=(0)^4-4(0)^3-8(0)^2+13=13
у(4)=(4)^4-4(4)^3-8(4)^2+13=256-256-128+13=-115
у(-1)=(-1)^4-4(-1)^3-8(-1)^2+13=1+4-8+13=10
Следовательно, на промежутке а) функция имеет наибольшее значение равное 13, а наименьшее значение равно -115.
б) Для промежутка б) функция не имеет наибольшего, ни наименьшего значения.
6. Для функции у=х+.
а) Найдем экстремумы: у'=1.
Так как значение производной является постоянным и не зависит от х, то на промежутке а) функция не имеет наибольшего, ни наименьшего значения.
б) Для промежутка б) функция не имеет наибольшего, ни наименьшего значения.
7. Для функции у=х^2-.
а) Найдем экстремумы: у'=2х.
Уравнение у'=0 имеет одно решение, х=0.
Далее, найдем значение функции у в найденной точке:
у(0)=(0)^2-=0-=-.
Таким образом, на промежутке а) функция имеет наибольшее значение равное -, а наименьшее значение также равно -.
б) Для промежутка б) функция не имеет наибольшего, ни наименьшего значения.
8. Для функции у=х^2+.
а) Найдем экстремумы: у'=2х.
Уравнение у'=0 имеет одно решение, х=0.
Далее, найдем значение функции у в найденной точке:
у(0)=(0)^2+=0+=.
Таким образом, на промежутке а) функция имеет наибольшее значение равное , а наименьшее значение также равно .
б) Для промежутка б) функция не имеет наибольшего, ни наименьшего значения.
Надеюсь, что ответы были достаточно подробными и понятными! Если возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!