Question

1)найти промежутки возрастания и убывания точки экстремума функции y=3x^2-x^3 2)док-ть что функция f(x)=2x^5+4x^3+3x -7 на множестве r возрастающая. 3) на графике функции y=(х+1) черта дроби (х+2) найдите точки, в которых касательная параллельна прямой у=х-3

Answer 1

1)  $y=3x^2-x^3; y'=6x-3x^2=3x(2-x);x(2-x)=0;x=0;x=2;$ - две критические точки в области определения R.  $y'$ на промежутках $(- \infty;0),(2;\infty)$ и $y'0$  на промежутке $(0;2)$, значит функция $y=3x^2-x^3$ убывает на промежутках $(- \infty;0),(2;\infty)$ и возрастает  на промежутке $(0;2)$. $x=0$ - точка минимума, $x=2$ - точка максимума.  $y(0)=3*0-0=0$ - значение минимума функции, $y(2)=3*2^2-2^3=4$ - значение максимума функции.
2)  $f(x)=2x^5+4x^3+3x-7;f'(x)=10x^4+12x^2+3;10x^4+12x^2+3=0;D_1=6;$
$x^{2} = \frac{-6- \sqrt{6}}{10}$ - корней нет, 
$x^{2} = \frac{-6+\sqrt{6}}{10}$ - корней нет.
итак, критических точек нет, значит в области определения R функция монотонна, т к  $f'(x)=10x^4+12x^2+30$ при любых х, то функция $f(x)=2x^5+4x^3+3x-7$ возрастает в области определения R.
3)  т к касательная параллельна прямой у=х-3, то угловой коэффициент касательной k=1.  
$y= \frac{x+1}{x+2}; y'= \frac{x+2-(x+1)}{(x+2)^2}=\frac{1}{(x+2)^2};$
$\frac{1}{(x+2)^2}=1;(x+2)^2=1;x+2=1;x=-1;x+2=-1;x=-3;$
$y(-1)=0;y(-3)= \frac{-2}{-1}=2;$
$(-1;0),(-3;2)$ - точки, в которых касательная параллельна прямой у=х-3.

Answer 2

1) y'=6x-3x^2=3x(2-x)
x=0 x=2 точки экстремума
производная меняет знак с - на + при переходе через 0, в ней минимум
производная при переходе через х=2 меняет знак с + на - в ней максимум
функция возрастает на отрезке (0;2)
убывает x<0 U x>2
2) f'=10x^4+12x^2+3>0   x^4>=0 x^2>=3
производная положительна на всей числовой оси функция является возрастающей.
3) y'=1
1/(x+2)^2=1
1=x^2+4x+4
x^2+4x+3=0
x=-1
x=-3
точки (-1;0) (-3;2)