1) Если функция возрастает на всей прямой, то её производная всегда положительна.
y' = 3x^2 + 3a = 3(x^2 + a)
При любом а>0 производная корней не имеет, то есть y' > 0.
При а = 0 будет y = x^3 - тоже возрастает на всей прямой.
При a < 0 будет
y' = 3(x^2 + a) = 3(x - √(-a))(x + √(-a))
Производная имеет 2 корня, значит, есть минимум и максимум.
ответ: a >= 0
2) y = (x+4)/x = 1 + 4/x.
График на 1 рисунке.
3) f(x) = x^2/e^x
Значения на концах отрезка.
f(-1) = (-1)^2/e^(-1) = 1*e = e ~ 2,718
f(3) = 3^2/e^3 =9/e^3 ~ 0,45
Экстремумы.
f'(x) = (2x*e^x-x^2*e^x)/e^(2x) = (2x - x^2)/e^x = 0
2x - x^2 = x(2 - x) = 0
x1 = 0; f(0) = 0/e^0 = 0 - минимум
x2 = 2; f(2) = 4/e^2 ~ 0,54 - максимум
Наименьшее: f(0) = 0
Наибольшее: f(-1) = e
4) это трудная задача, на производную.
Я даю второй рисунок, из которого все понятно.
Обозначим радиус сферы R, радиус основания конуса r, высоту H.
Центр основания конуса обозначим О, центр сферы О'.
Точку касания образующей конуса и сферы D. Вершину конуса S.
Угол наклона образующей к плоскости основания:
tg a = H/r; r = H/tg a
Треугольник SO'D подобен SAO.
Угол SO'D = SAO = a.
cos a = R/SO' = R/(H-R)
Объём конуса
V = 1/3*Π*r^2*H = Π/3*(H/tg a)^2*H = Π/3*H^3/tg^2 a
Теперь выразим tg^2 a через R и H.
cos^2 a = R^2/(H-R)^2
sin^2 a = 1 - R^2/(H-R)^2 = [(H-R)^2 - R^2]/(H-R)^2 = (H^2-2RH)/(H-R)^2
tg^2 a = (H^2-2RH)/R^2
Подставляем в объём как функцию от H
V(H) = Π/3*H^3*R^2/(H^2-2RH) = Π/3*R^2*H^2/(H-2R)
Берём производную от объёма по высоте H.
V'(H) = Π/3*R^2*(2H(H-2R)-H^2*1)/(H-2R)^2
Если объём минимальный, то производная равна 0.
Π/3*R^2*(2H(H-2R)-H^2) = 0
2H^2 - 4HR - H^2 = 0
H^2 - 4HR = H*(H - 4R) = 0
H = 4R.
Чтобы объём конуса был минимальным, его высота должна быть в 4 раза больше радиуса сферы.
Найду ещё и радиус конуса.
tg^2 a = (H^2-2RH)/R^2 = (16R^2-8R^2)/R^2 = 8;
tg a = √8
r = H/tg a = 4R/√8 = 4√8*R/8 = √8*R/2 = 2√2*R/2 = R*√2
Радиус конуса должен быть равен R*√2
D(дискриминант) = 81.Корень из D = 9
x = 0.5
x = -4
2(x - 0.5)(x+4) >= 0
Строим числовую прямую,там получается,что :
( - бесконечность до -4] U [0,5 до +бесконечности)