Question

Найдите все значения a, такие, что уравнение |2x+1|=x+a имеет единственное решение.

Answer 1

(см. объяснение)

Объяснение:

Первый :

$|2x+1|=x+a\\|2x+1|-x-a=0$

Рассмотрим функцию $f(x)=|2x+1|-x-a$.

Тогда уравнение примет вид $f(x)=0$.

Заметим, что решающую роль на поведение функции (ее возрастание или убывание) всегда оказывает знак при $2x$. Тогда функция убывает на промежутке $\left(-\infty;\;-\dfrac{1}{2}\right]$, а возрастает на $\left[-\dfrac{1}{2};\;+\infty\right)$. Значит единственное решение достигается тогда и только тогда, когда $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$.

Получили уравнение:

$\left|2\times\dfrac{1}{2}+1\right|-\dfrac{1}{2}-a=0\\a=\dfrac{1}{2}$

Итого при $a=\dfrac{1}{2}$ исходное уравнение имеет единственное решение.

Второй :

$|2x+1|=x+a\\a=|2x+1|-x$

Построим график этого уравнения в координатах $(x;\,a)$:

(см. прикрепленный файл)

Тогда ответом будет $a=\dfrac{1}{2}$.

Третий :

$|2x+1|=x+a$

Знаем, что при $a\ge0$:

$|f(x)|=a,\;\;\left[\begin{array}{c}f(x)=a\\f(x)=-a\end{array}\right;$

Тогда единственное решение возможно, только если $x+a=0$.

Получили уравнение:

$|2x+1|=0\\2x+1=0\\x=-\dfrac{1}{2}$

Так как $x+a=0,\;=\;a=-x,\;=a=\dfrac{1}{2}$.

Задание выполнено!