Question

Найдите первообразную функции f(х)=2sin5x+3cosх/2, которая при х=пи/3 равна 0.

Answer 1

$F(x)=-\frac{2}{5}\,cos\,5x+6\,sin\,\frac{x}{2}-2.8$

Объяснение:

Первообразная F(x) функции f(x) равна неопределенному интегралу

$F(x)=\int f(x)\,dx$

Тогда

$F(x)=\int {(2\,sin\,5x+3\,cos\,\frac{x}{2}) }\,dx=\int{2\,sin\,5x}\,dx+\int{3\,cos\,\frac{x}{2}}\,dx=\\\\=2\int{sin\,5x}\,dx+3\int{cos\,\frac{x}{2}}\,dx=2\cdot(-\frac{1}{5})\,cos\,5x+3\cdot2\,sin\,\frac{x}{2}+C=\\\\=-\frac{2}{5}\,cos\,5x+6\,sin\,\frac{x}{2}+C$

Подстановка

$F(\frac{\pi}{3})=-\frac{2}{5}\,cos\,\frac{5\pi}{3}+6\,sin\,\frac{\pi}{6}+C=-\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}+6\cdot\frac{1}{2}+C=\\\\=-\frac{1}{5}+3+C=2.8+C=0\\\\C=-2.8$

Окончательно

$F(x)=-\frac{2}{5}\,cos\,5x+6\,sin\,\frac{x}{2}-2.8$