Question

Цифры некоторого натурального числа идут в порядке возрастания. Может ли оно делиться на 11?

Answer 1

ответ: делиться на 11 такое число не может.

Обоснование. Как известно, число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр, стоящих на нечетных местах, отличается от суммы цифр, стоящих на четных, на число, делящееся на 11 (как частный случай эти суммы могут совпадать). Однако в нашем случае максимальное возможное отличие равно 8 (из двузначных это число 19, из трехзначных 129, 239, ..., 789).  Докажем, что больше 8 никогда не получится.

1) Пусть в числе четное число знаков: $a_1a_2\ldots a_{2n}.$ Тогда

$(a_{2n}-a_{2n-1})+\ldots +(a_2-a_1)$ - это часть расстояния от  $a_1$ до $a_{2n}$, а поскольку первая цифра не меньше 1, а последняя не больше 9, эта сумма не больше 8.

2) Пусть в числе нечетное число знаков: $a_1a_2\ldots a_{2n+1}.$ Тогда

$a_{2n+1}-a_{2n}+\ldots -a_2+a_1=a_{2n+1}-((a_{2n}-a_{2n-1})+\ldots +(a_2-a_1)),$

то есть из $a_{2n+1}$ вычитается часть расстояния между $a_1$ и $a_{2n}$

Поэтому снова больше 8 получиться не может.

Но одновременно мы видим, что  0 также не может получиться.

Вывод: число, у которого цифры идут в порядке возрастания, на 11 делиться не может.