Question

Вычислить интеграл
Подробно

Answer 1

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \frac{6x - 5}{x^{2} - 12x - 3} \, dx.$

1. Преобразуем интеграл следующим образом:

$\displaystyle \int \frac{6x - 36 + 31}{x^{2} - 12x - 3} \, dx.$

2. Разъединим исходную алгебраическую дробь:

$\displaystyle \int \left(\frac{6x - 36}{x^{2} - 12x - 3} + \frac{31}{x^{2} - 12x - 3} \right) \, dx.$

3. Разъединим данный интеграл на два:

$\displaystyle \int \frac{3(2x - 12)}{x^{2} - 12x - 3} \, dx + \int\frac{31}{x^{2} - 12x - 3} \, dx.$

4. Поработаем с каждым интегралом.

4.1. Рассмотрим первый интеграл. Сделаем замену:

$x^{2} - 12 x - 3 = t$

Тогда $(2x - 12)dx = dt$

Имеем:

$\displaystyle \int \dfrac{3}{t} \, dt = 3 \ln |t| + C_{1} = 3 \ln |x^{2} - 12 x - 3| + C_{1}.$

4.2. Рассмотрим второй интеграл. Выделим в знаменателе дроби полный квадрат:

$\displaystyle \int\frac{31}{x^{2} - 12x + 36 - 39} \, dx = \int\frac{31}{(x - 6)^{2} - (\sqrt{39})^{2}} \, dx.$

Используя формулу $\displaystyle \int \frac{dx}{a^{2} - x^{2}} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a + x}{a - x} \right| + C,$ имеем:

$-31 \displaystyle \int \frac{dx}{(\sqrt{39})^{2} - (x - 6)^{2}} = -\frac{31}{2\sqrt{39}} \ln \left| \frac{\sqrt{39} + x - 6}{\sqrt{39} - x + 6} \right| + C_{2}.$

5. Итоговый результат:

$\displaystyle \int \frac{6x - 5}{x^{2} - 12x - 3} \, dx = 3 \ln |x^{2} - 12 x - 3| -\frac{31}{2\sqrt{39}} \ln \left| \frac{\sqrt{39} + x - 6}{\sqrt{39} - x + 6} \right| + C$