Question

4.1 завдання з параметрами, 11 клас

Answer 1

(см. объяснение)

Объяснение:

$\sin^2x-\left(a+\dfrac{1}{2}\right)\sin x+\dfrac{a}{2}=0$

Выполним временную замену вида $t=\sin x$.

$t^2-\left(a+\dfrac{1}{2}\right)t+\dfrac{a}{2}=0$

Попробуем решить это уравнение через дискриминант относительно неизвестной $t$.

$D=\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2-4\times\dfrac{a}{2}=a^2-a+\dfrac{1}{4}=\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2$

$\sqrt{D}=a-\dfrac{1}{2}$

$\left[\begin{array}{c}t=a\\t=\dfrac{1}{2}\end{array}\right;$

Сделаем обратную замену:

$\left[\begin{array}{c}\sin x=a\\\sin x=\dfrac{1}{2}\end{array}\right;$

Второе уравнение совокупности дает нам два корня, принадлежащие промежутку $\left[0;\;\dfrac{5\pi}{4}\right]$. Значит надо, чтобы первое давало один.

Здесь графическое решение на единичной окружности:

(см. прикрепленный файл)

Итого при $a\in\left[-\dfrac{\sqrt{2}}{2};\;0\right)\cup\left\{1\right\}$ исходное уравнение имеет ровно три различных корня.

Задание выполнено!