Question

75.
Система рівнянь з параметром

Answer 1

(см. объяснение)

Объяснение:

$\left\{\begin{array}{c}xy-5y-3=0\\x(y+2-a)-(3a+2)y-a+5=0\end{array}\right;$

Данную систему попробую решить чисто аналитически. Редко так деляю, поэтому надеюсь, что ничего не потеряю.

Рассмотрим первую строку системы:

$xy-5y-3=0$

Заметим, что при $x=5$ она теряет смысл.

Действительно: $5y-5y-3=0,\;\;-3=0$, неверно.

Выразим из рассматриваемого уравнения $y$:

$y=\dfrac{3}{x-5}$

Подставим полученную фразу во вторую строку системы:

$x\left(\dfrac{3}{x-5}+2-a\right)-(3a+2)\times\dfrac{3}{x-5}-a+5=0$

Упростим ее:

$\dfrac{(2-a)x^2+2x(2a-1)-4a-31}{x-5}=0$

ОДЗ для данной дроби $x\ne 5$.

Помня это, перейдем к более комфортной записи:

$(2-a)x^2+2x(2a-1)-4a-31=0$

При $a=2$ уравнение перестает быть квадратным. Это означает, что если мы получим x, не равный 5, то такое значение параметра нужно взять в ответ.

$(2-2)x^2+2x(2\times2-1)-4a-31=0\\\\x=\dfrac{13}{2}$

Значит $a=2$ является фрагментом ответа.

При найденном $x$ вычислим $y$:

$y=\dfrac{3}{\dfrac{13}{2}-5}\\\\y=2$

Итого при $a=2$ система имеет единственное решение $\left(\dfrac{13}{2};\;2\right)$.

При $a\ne2$ имеем параболу. Чтобы квадратное уравнение имело один единственный корень, нужно, чтобы его дискриминант был равен 0 (естественно, важно, чтобы тогда корень не был равен 5). В нашем случае еще допустимо, чтобы уравнение имело два корня, один из которых равен 5, так как по ОДЗ он не подойдет и в итоге из двух останется один.

Рассчитаем дискриминант, деленный на четыре (для более простого счета; можно считать обычный):

$\dfrac{D}{4}=(2a-1)^2+(2-a)(4a-31)=-27a+63$

Приравняем его к нулю:

$-27a+63=0\\\\a=\dfrac{7}{3}$

При $a=\dfrac{7}{3}$ исходная система уравнений имеет единственное решение $\left(11;\;\dfrac{1}{2}\right)$. Берем его в ответ.

Подставим теперь $x=5$ в наше уравнение:

$(2-a)\times5^2+2\times5\times(2a-1)-4a-31=0\\a=1$

При $a=1$ исходная система уравнений имеет единственное решение $\left(-7;\;-\dfrac{1}{4}\right)$. Такое значение параметра подходит.

Итого:

При $a=2$ система имеет единственное решение $\left(\dfrac{13}{2};\;2\right)$При $a=\dfrac{7}{3}$ исходная система уравнений имеет единственное решение $\left(11;\;\dfrac{1}{2}\right)$При $a=1$ исходная система уравнений имеет единственное решение $\left(-7;\;-\dfrac{1}{4}\right)$

Задание выполнено!