Question

Докажите, что множество чисел вида $\frac{1}{3k}$ , где k принадлежит N , счетно.

Answer 1

Рассмотрим множество A, заданное в условии:

$A=\{\frac{1}{3k} :k \in \mathbb {N}\}$

и множество натуральных чисел ℕ. Замечу, что при любом k дробь вида $\frac{1}{3k}$ является несократимой, то есть если выписывать такие дроби, начиная с k = 1 и увеличивая каждый раз переменную k на 1, ни одна из них не повторится (так как знаменатель постоянно увеличивается).

Покажем, что между этими двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие. Для этого всем дробям вида $\frac{1}{3k}$, где $k \in \mathbb {N}$, поставим в соответствие число $k$. С одной стороны, согласно построению каждой такой дроби будет соответствовать натуральное $k$, притом единственное. С другой стороны, для каждого натурального $k$ можно указать единственную (смотри замечание в предыдущем абзаце) дробь вида $\frac{1}{3k}$, и все они будут принадлежать множеству A, поскольку $k$ пробегает все натуральные значения. Итак, построенное соответствие действительно взаимно однозначное. А раз множество ℕ счетное, то и множество A также счетное.