Question

Докажите, что если x>0, y>0, то $\lim\limits_{a\to 0}\left(\frac{x^a+y^a}{2}\right)^{1/a}=\sqrt{xy}.$

Answer 1

Определенная на интервале I функция f называется выпуклой (выпуклой вниз) на I, если для любых x′,x′′∈I и любого числа λ(0<λ<1) выполняется неравенство

f(λx′+(1−λ)x′′)⩽λf(x′)+(1−λ)f(x′′).

С геометрической точки зрения смысл выпуклости состоит в том, что все точки дуги графика функции y=f(x) расположены не выше хорды, соединяющей концы этой дуги. Действительно, отрезок, соединяющий точки (x′,f(x′)) и (x′′,f(x′′)), имеет вид

l(x)=f(x′)+

f(x′′)−f(x′)

x′′−x′

(x−x′).

При 0<λ<1 точка x=λx′+(1−λ)x′′ принадлежит интервалу с концами x′ и x′′. При этом неравенство, определяющее понятие выпуклости, принимает такой вид: f(x)⩽l(x).

Обозначим x=λx′+(1−λ)x′′. Тогда λ=

x′′−x

x′′−x′

,1−λ=

x−x′

x′′−x′

. Поэтому определение выпуклости можно переписать в таком виде: функция f называется выпуклой на интервале I, если для любых точек x′,x′′∈I, таких, что x′<x′′, и для любого x∈[x′,x′′]справедливо неравенство

f(x)⩽f(x′)

x′′−x

x′′−x′

+f(x′′)

x−x′

x′′−x′

.

Если в определении выпуклости нестрогое неравенство заменить строгим, то получим определение строгой выпуклости вниз. С геометрической точки зрения строгая выпуклость означает, что, кроме выпуклости, график функции не содержит линейных отрезков.