Question

Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур. где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга - Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?

Answer 1

$\alpha=0.5$ - вероятность победы

Иван и Алексей сыграют друг с другом в 1 туре, если так будет определено жеребьевкой.

Рассмотрим возможных соперников Ивана. Их 15 человек. Поэтому, вероятность того, что по результатам жеребьевки 1 тура Иван будет играть именно с Алексеем равна:

$g_1=\dfrac{1}{15}$

Таким образом, вероятность сыграть Ивану и Алексею в 1 туре между собой равна:

$p_1=g_1=\dfrac{1}{15}$

Если Иван и Алексей не сыграли между собой в 1 туре, то возможно они сыграют между собой во 2 туре. Но для этого каждому из них необходимо как минимум выиграть в 1 туре.

Вероятность того, что и Иван и Алексей окажутся во 2 туре, равна:

$p_2'=\left(1-p_1\right)\cdot\alpha \cdot\alpha =\left(1-\dfrac{1}{15}\right)\cdot0.5\cdot0.5=\dfrac{14}{15}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{30}$

Во 2 туре играет 8 человек, то есть 7 возможных соперников для каждого. По результатам жеребьевки 2 тура Иван будет играть с Алексеем с вероятностью:

$g_2=\dfrac{1}{7}$

Значит, играть Иван и Алексей между собой во 2 туре будут с вероятностью:

$p_2=p_2'\cdot g_2=\dfrac{7}{30} \cdot\dfrac{1}{7} =\dfrac{1}{30}$

Если Иван и Алексей не играли между собой во 2 туре, то они имеют шансы выйти в 3 тур. Это произойдет с вероятностью:

$p_3'=p_2'\cdot(1-g_2)\cdot\alpha\cdot\alpha= \dfrac{7}{30}\cdot \left(1-\dfrac{1}{7}\right)\cdot0.5\cdot0.5=\dfrac{7}{30}\cdot\dfrac{6}{7}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{20}$

В 3 туре играет 4 человека, то есть 3 возможных соперника для каждого. По результатам жеребьевки 2 тура Иван будет играть с Алексеем с вероятностью:

$g_3=\dfrac{1}{3}$

Значит, Иван и Алексей сыграют между собой в 3 туре с вероятностью:

$p_3=p_3'\cdot g_3=\dfrac{1}{20} \cdot\dfrac{1}{3} =\dfrac{1}{60}$

Вероятность выхода Ивана и Алексея в 4 тур:

$p_4'=p_3'\cdot(1-g_3)\cdot\alpha\cdot\alpha=\dfrac{1}{20}\cdot \left(1-\dfrac{1}{3}\right)\cdot0.5\cdot0.5=\dfrac{1}{20}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{120}$

Если Иван и Алексей вышли в 4 тур, то есть в финал, то они, конечно, сыграют друг с другом:

$p_4=p_4'=\dfrac{1}{120}$

Итоговая вероятность сыграть Ивану и Алексея друг с другом в каком-либо туре равна:

$p=p_1+p_2+p_3+p_4=\dfrac{1}{15} +\dfrac{1}{30} +\dfrac{1}{60} +\dfrac{1}{120} =\dfrac{8+4+2+1}{120} =\dfrac{15}{120} =\dfrac{1}{8}$

ответ: 1/8