Question

2013 у степені 2014. знайти останню цифру і пояснити як ви знайшли

Answer 1

Любое число в 5 степени оканчивается на ту же цифру, что и само число.
Кроме того, нас интересует только последняя цифра, поэтому я оставлю 3.
2013^2014 = 3^2010*3^4 = (3^5)^402*81 = 3^402*1 = 3^400*3^2 = ((3^5)^5)^16*9 =
= 3^16*9 = 3^15*3*9 = (3^5)^3*27 = 3^3*27 = 27*27 = 7*7 = 49
Здесь все знаки равно означают "оканчивается на ту же цифру"
Последняя цифра - 9

Answer 2

Последняя цифра числа 2013 является 3. При возведении числа 2013 в степень последняя цифра будет определяться как последняя цифра степени числа 3 .   

 $3^1=3\\3^2=9\\3^3=27\\3^4=81\\3^5=243\\3^6=729\\3^7=2187\\3^8=6561\\...................$
При возведении 3 в степень получаем числа, оканчивающиеся на 3,9,7,1.
Значит показатель 2014 делим на 4 (цикличность из 4 цифр), получаем в остатке 2,
 то есть  2014=4*503+2
Тогда 
             $2013^{2014}=2013^{4\cdot 503+2}=2013^{4\cdot 503}\cdot 2013^2$
 И последней цифрой будет цифра числа  $3^2=9$ , то есть 9.

 ЗАМЕЧЕНИЕ:  последняя цифра числа  $a^{4k+b}$  заканчивается на такую же цифру, как и число  $a^{b}$. Аналогично,

 $a^{nk+b}$  оканчивается на такую же цифру, что и число $a^{b}.$