95 мин=1 7/12 ч 12 ч-1 7/12 ч=10 5/12 ч=125/12 ч (двигалась лодка) х - собственная скорость лодки х+2 - скорость по течению х-2 - скорость против течения 50/(х+2) - время движения по течению 50/(х-2) - время против течения 50/(х+2)+50/(х-2)=125/12 (умножим на 12(х+2)(х-2)) 600(х-2)+600(х+2)=125(х+2)(х-2) 600х-1200+600х+1200=125(х2-2х+2х-4) 1200х=125х2-500 125х2-1200х-500=0 (сократим на 25) 5х2-48х-20=0 D=48*48-4*5*(-20)=2304+400=2704 Корень из D=52 х"=(48-52):2*5=-4:10=-2/5 (не подходит по условию) х=(48+52):10=100:10=10 (км/ч) ответ: собственная скорость лодки 10 км/ч
Доказать можно методом математической индукции... только есть нюанс -числа целые (а не натуральные))) 1) для четного целого n утверждение очевидно: n = 2k, k∈Z (2k)² - 5(2k) + 2 = 2*(2k² - 5k + 1) 2) для НЕчетного целого n: n = 2k+1, k∈Z (2k+1)² - 5(2k+1) + 2 = 4k² + 4k + 1 - 10k - 5 + 2 = 2*(2k² - 3k - 1)
для чисел, кратных трем, будет на один вариант больше представлений: n = 3k (число кратно трем) n = 3k+1 (число НЕ кратно трем --дает остаток 1) n = 3k+2 (число НЕ кратно трем --дает остаток 2) 1) (3k)³ + 2(3k) - 3 = 3*(9k³ + 2k - 1) 2) (3k+1)³ + 2(3k+1) - 3 = 27k³ + 27k² + 9k + 1 + 6k + 2 - 3 = = 3*(9k³ + 9k² + 3k) 3) (3k+2)³ + 2(3k+2) - 3 = 27k³ + 54k² + 36k + 8 + 6k + 4 - 3 = = 3*(9k³ + 18k² + 14k + 3)
можно было доказывать и в первом и во втором случае кратность только для первых двух слагаемых, т.к. третьи слагаемые в обоих случаях кратны заданным числам... чуть короче бы получилось...
12 ч-1 7/12 ч=10 5/12 ч=125/12 ч (двигалась лодка)
х - собственная скорость лодки
х+2 - скорость по течению
х-2 - скорость против течения
50/(х+2) - время движения по течению
50/(х-2) - время против течения
50/(х+2)+50/(х-2)=125/12 (умножим на 12(х+2)(х-2))
600(х-2)+600(х+2)=125(х+2)(х-2)
600х-1200+600х+1200=125(х2-2х+2х-4)
1200х=125х2-500
125х2-1200х-500=0 (сократим на 25)
5х2-48х-20=0
D=48*48-4*5*(-20)=2304+400=2704 Корень из D=52
х"=(48-52):2*5=-4:10=-2/5 (не подходит по условию)
х=(48+52):10=100:10=10 (км/ч)
ответ: собственная скорость лодки 10 км/ч