Question

Решить неравенство: log (x-5) по основанию 1/3 > 1 решить уравнение: log x по основанию 8 + log x по основанию корень из 2= 14 решить неравенство: log (10-x) по основанию 1/6 + log (х-3) по основанию 1/6 > =(равно или больше) -1

Answer 1

=============== 1 ===============
$log_{ \frac{1}{3} }(x-5)\ \textgreater \ 1$
ОДЗ:
$x-5\ \textgreater \ 0\\ x\ \textgreater \ 5\\\\ log_{ \frac{1}{3} }(x-5)\ \textgreater \ log_{ \frac{1}{3} } \frac{1}{3}$
Т.к. $0\ \textless \ \frac{1}{3} \ \textless \ 1$, то:
$x-5\ \textless \ \frac{1}{3} \\ x\ \textless \ \frac{1}{3}+5\\ x\ \textless \ 5\frac{1}{3}$
Учитывая ОДЗ, получаем:
$\left \{ {x\ \textgreater \ 5} \atop {x\ \textless \ 5\frac{1}{3}}} \right. \\\\ x\in (5; 5\frac{1}{3})$
=============== 2 ===============
$log_8x+log_{ \sqrt{2} }x=14$
ОДЗ:
$x\ \textgreater \ 0\\\\ log_{2^3}x+log_{2^{ \frac{1}{2} } }x=14 \cdot 1\\ \frac{1}{3} log_{2}x+2log_{2}x=14log_22\\ log_{2}x^{ \frac{1}{3}}+log_{2}x^2=log_22^{14}\\ log_{2}(x^{ \frac{1}{3}} \cdot x^2)=log_22^{14}\\ x^{\frac{1}{3}+2}=2^{14}\\ x^{\frac{7}{3}}=2^{14}\\ (x^{\frac{7}{3}})^{ \frac{3}{7} }=(2^{14})^{ \frac{3}{7} }\\ x=2^6\\ x=64$
=============== 3 ===============
$log_ {\frac{1}{6}} (10-x)+log_ {\frac{1}{6}} (x-3) \geq -1$
ОДЗ:
$\left \{ {{10-x\ \textgreater \ 0} \atop {x-3\ \textgreater \ 0}} \right. \\\\ \left \{ {{-x\ \textgreater \ -10} \atop {x\ \textgreater \ 3}} \right. \\\\ \left \{ {{x\ \textless \ 10} \atop {x\ \textgreater \ 3}} \right. \\\\ x\in(3;10)\\\\ log_ {\frac{1}{6}} (10-x)+log_ {\frac{1}{6}} (x-3) \geq -1\cdot 1\\ log_ {\frac{1}{6}} (10-x) \cdot (x-3) \geq -1\cdot log_ {\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}}\\ log_ {\frac{1}{6}} (10x-30-x^2+3x) \geq log_ {\frac{1}{6}}{6}\\ 10x-30-x^2+3x \leq 6\\ -x^2+13x-36 \leq 0$
Разложим полученный квадратный трехчлен на множители:
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\\\\ -x^2+13x-36 =0\\ D=169-4\cdot(-1) \cdot (-36)=169-144=25\\ x_1= \frac{-13+5}{-2} = \frac{-8}{-2}=4\\ x_2= \frac{-13-5}{-2} = \frac{-18}{-2}=9\\ -x^2+13x-36 =-(x-4)(x-9)\\ -(x-4)(x-9)\leq 0\\x\in (-\infty;4] \cup [9;+\infty)$
Учитывая ОДЗ, получаем:
$\left \{ {x\in(3;10) \atop x\in (-\infty;4] \cup [9;+\infty)} \right. \\\\x\in (3;4] \cup [9;10)} \right$