Question

Без использования калькулятора сравнить числа и

Answer 1

Логарифмические функции с основанием 7 и 4 возрастающие, значит бо`льшему значению функции соответствует бо`льшее значение аргумента:

$1=log_{7}7 < log_{7}16<log_{7}49=2\\ \\1=log_{4}4 < log_{4}7<log_{4}16=2$

Числа$log_{7}16$  и $log_{4}7$ находятся на промежутке [1;2]

Сравним каждое c серединой этого отрезка, с числом 1,5

$1,5=log_{7}7^{1,5}=log_{7}\sqrt{7^3}=log_{7}\sqrt{343} log_{7}\sqrt{256}=log_{7} 16\\ \\1,5=log_{4}4^{1,5}=log_{4}\sqrt{4^3}=log_{4}\sqrt{64} log_{4}\sqrt{49}=log_{4}7$

Значит оба числа находятся на промежутке [1;1,5]

Умножим равенства

$1<log_{7}16<\frac{3}{2}\\ \\1<log_{4}7<\frac{3}{2}$

на 2.

$2<2\cdot log_{7}16=log_{7}16^2<3\\ \\2<2\cdot log_{4}7=log_{4}7^2<3$

Числа$log_{7}16^2$  и $log_{4}7^2$ находятся на промежутке [2;3]

Сравним каждое c серединой этого отрезка, с числом 2,5

$log_{7}16^2\frac{5}{2}=\frac{5}{2}log_{7}7^{\frac{5}{2}}=log_{7}\sqrt{7^5}\\ \\log_{7}256=log_{7}\sqrt{256^2}=log_{7}\sqrt{65536}log_{7}\sqrt{7^5} =log_{7}\sqrt{16807}$

$log_{4}7^2\frac{5}{2}=\frac{5}{2}log_{4}4^{\frac{5}{2}}=log_{4}\sqrt{4^5}\\ \\log_{4}49=log_{7}\sqrt{49^2}=log_{7}\sqrt{2401}log_{4}\sqrt{4^5} =log_{4}\sqrt{1024}$

Числа$log_{7}16^2$  и $log_{4}7^2$ находятся на промежутке [2,5;3]

Умножим равенства

$2,5<log_{7}16^2<3\\ \\2,5<log_{4}7^2<3$

на 2.

$5<2\cdot log_{7}16^2=log_{7}16^4<6\\ \\5<2\cdot log_{4}7^2=log_{4}7^4<6$

Числа$log_{7}16^4$  и $log_{4}7^4$ находятся на промежутке [5;6]

Сравним каждое c серединой этого отрезка, с числом 5,5

$log_{4}49^2=log_{4}\sqrt{49^4}=log_{4}\sqrt{3364801}<log_{4}4^{\frac{11}{2}}= log_{4}\sqrt{4194304}=\frac{11}{2} < log_{7}7^{\frac{11}{2}}=log_{7}\sqrt{7^{11}}<log_{7}16^4$

Получили:

$log_{4}7^4<\frac{11}{2}<log_{7}16^4\\ \\4log_{4}7<\frac{11}{2}<4log_{7}16\\ \\ log_{4}7<\frac{11}{8}<log_{7}16\\ \\ log_{4}7<log_{7}16$