Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке, нужно выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Определить область определения функции.
Область определения функции определяется значениями аргументов функции, при которых функция имеет смысл. В данном случае, логарифмические функции и определены только для положительных аргументов. Таким образом, область определения функции состоит из всех значений x, для которых и . Решим это неравенство:
Получаем, что область определения функции на отрезке [1; 7] равна .
Шаг 2: Найти производную функции.
Чтобы найти экстремумы (наибольшее и наименьшее значения) функции, нужно найти производную функции и найти ее корни. Рассчитаем производную функции с помощью правила дифференцирования функций суммы и произведения:
Шаг 3: Решить уравнение для определения критических точек.
Чтобы найти экстремумы, необходимо найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Подставим и решим это уравнение:
Упростим это уравнение:
Так как дробь равна нулю только если числитель равен нулю, получаем уравнение:
Таким образом, критическая точка функции находится в точке x = 3.
Шаг 4: Определить конечные точки отрезка.
Наибольшее и наименьшее значение функции также может быть достигнуто на конечных точках отрезка [1; 7]. Поэтому нужно вычислить значения функции в этих точках:
Шаг 5: Определить значение функции в критической точке.
Теперь нужно вычислить значение функции в критической точке x = 3:
Шаг 6: Сравнить значения функции в найденных точках.
Теперь сравним значения функции в точках x = 1, x = 3 и x = 7, а также граничные значения на отрезке [1; 7]. Найденные значения функции:
Таким образом, наибольшее значение функции равно ln(125) и достигается в точке x = 3, а наименьшее значение функции равно 2ln(7) и достигается в точке x = 1.
Чтобы представить выражение (2x - 5y²)² в виде многочлена стандартного вида, мы должны выполнить процесс раскрытия скобок. Для этого умножим каждый элемент внутри скобок на себя:
(2x - 5y²)² = (2x - 5y²)(2x - 5y²).
Для удобства, давайте представим это выражение как произведение двух скобок: A * A, где A = (2x - 5y²).
Теперь, чтобы раскрыть скобки, мы должны применить правило дистрибутивности. Это означает, что для каждого терма в первой скобке (2x и -5y²) мы должны умножить его на каждый терм во второй скобке (2x и -5y²) и затем сложить все полученные результаты.
Шаг 1: Определить область определения функции.
Область определения функции определяется значениями аргументов функции, при которых функция имеет смысл. В данном случае, логарифмические функции
Получаем, что область определения функции на отрезке [1; 7] равна
Шаг 2: Найти производную функции.
Чтобы найти экстремумы (наибольшее и наименьшее значения) функции, нужно найти производную функции и найти ее корни. Рассчитаем производную функции
Шаг 3: Решить уравнение
Чтобы найти экстремумы, необходимо найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Подставим
Упростим это уравнение:
Так как дробь равна нулю только если числитель равен нулю, получаем уравнение:
Таким образом, критическая точка функции находится в точке x = 3.
Шаг 4: Определить конечные точки отрезка.
Наибольшее и наименьшее значение функции также может быть достигнуто на конечных точках отрезка [1; 7]. Поэтому нужно вычислить значения функции в этих точках:
Шаг 5: Определить значение функции в критической точке.
Теперь нужно вычислить значение функции в критической точке x = 3:
Шаг 6: Сравнить значения функции в найденных точках.
Теперь сравним значения функции в точках x = 1, x = 3 и x = 7, а также граничные значения на отрезке [1; 7]. Найденные значения функции:
[y(x = 1) = 2ln(7)]
[y(x = 3) = ln(125)]
[y(x = 7) = ln(13)]
Граничные значения:
[y(x = 1) = 2ln(7)]
[y(x = 7) = ln(13)]
Таким образом, наибольшее значение функции равно ln(125) и достигается в точке x = 3, а наименьшее значение функции равно 2ln(7) и достигается в точке x = 1.