Question

Решите уравнение с параметром

Answer 1

Условие можно переформулировать так: при каких значениях параметра $a$ двойное неравенство $x^2-(a-2)x-2\leq y\leq a-2x$ будет выполнено при $y=0$ для всех $x\in[-1,0]$. Это гарантирует, что среди точек, удовлетворяющих системе, найдутся точки с любой абсциссой из $[-1,0]$ и ординатой $0$, что и является отрезком $[-1,0]$ оси $Ox$.

Итак, должна выполняться система: $\begin{cases} x^2-(a-2)x-2\leq 0\\ a-2x\geq 0\end{cases}$для всех $x\in [-1,0]$. Для первого уравнения это равносильно тому, что наибольший корень трехчлена будет не меньше нуля, а наименьший -- не больше $-1$. Тогда это будет гарантировать то, что отрезок $[-1,0]$ целиком попадет в параболу. Второе выполняется тогда и только тогда, когда $a\geq 0$ (в противном случае $x=0$ является контрпримером). Получаем систему: $\begin{cases}\dfrac{a-2+\sqrt{(a-2)^2+8}}{2}\geq 0\\\dfrac{a-2-\sqrt{(a-2)^2+8}}{2}\leq -1\\ a\geq 0\end{cases} \Leftrightarrow a\in [0,3]$

(Приводить здесь решение системы не стал, поскольку муторно и не относится к идейной составляющей).