Question

Найдите чему равен х( с решением) $2 \times {9}^{ {x}^{2} - 4x + 1 } + 42 \times {6}^{ {x}^{2} - 4x} - 15 \times {4}^{ {x}^{2} - 4x + 1} = 0$

Answer 1

$2 \cdot{9}^{x^2-4x+1}+42\cdot6^{x^2-4x} - 15 \cdot4^{x^2 - 4x + 1} =0$

Воспользовавшись свойствами степеней, запишем:

$2 \cdot{9}^{x^2-4x}\cdot9^1+42\cdot6^{x^2-4x} - 15 \cdot4^{x^2 - 4x}\cdot4^1 =0$

$18 \cdot{9}^{x^2-4x}+42\cdot6^{x^2-4x} - 60\cdot4^{x^2 - 4x} =0$

$18 \cdot(3^2)^{x^2-4x}+42\cdot(3\cdot2)^{x^2-4x} - 60\cdot(2^2)^{x^2 - 4x} =0$

$18 \cdot(3^{x^2-4x})^2+42\cdot3^{x^2-4x} \cdot2^{x^2-4x}- 60\cdot(2^{x^2 - 4x})^2 =0$

Разделим уравнение почленно на $(2^{x^2 - 4x})^2\neq 0$:

$18 \cdot\dfrac{(3^{x^2-4x})^2}{(2^{x^2 - 4x})^2} +42\cdot\dfrac{3^{x^2-4x} \cdot2^{x^2-4x}}{(2^{x^2 - 4x})^2} - 60\cdot\dfrac{(2^{x^2 - 4x})^2}{(2^{x^2 - 4x})^2} =0$

$18 \cdot\left(\dfrac{3^{x^2-4x}}{2^{x^2 - 4x}}\right)^2 +42\cdot\dfrac{3^{x^2-4x}}{2^{x^2 - 4x}} - 60\cdot1 =0$

$18 \cdot\left(\dfrac{3^{x^2-4x}}{2^{x^2 - 4x}}\right)^2 +42\cdot\dfrac{3^{x^2-4x}}{2^{x^2 - 4x}} - 60=0$

$3 \cdot\left(\dfrac{3^{x^2-4x}}{2^{x^2 - 4x}}\right)^2 +7\cdot\dfrac{3^{x^2-4x}}{2^{x^2 - 4x}} - 10=0$

Замена: $\dfrac{3^{x^2-4x}}{2^{x^2 - 4x}} =y0$

Получим уравнение:

$3y^2+7y-10=0$

Так как сумма коэффициентов уравнения равна 0, то первый корень равен 1, а второй равен отношению свободного члена к ставшему коэффициенту:

$y_1=1;\ y_2=-\dfrac{10}{3}$

Обратная замена. Первое уравнение:

$\dfrac{3^{x^2-4x}}{2^{x^2 - 4x}} =1$

$\left(\dfrac{3}{2}\right)^{x^2-4x} =1$

$\left(\dfrac{3}{2}\right)^{x^2-4x} =\left(\dfrac{3}{2}\right)^0$

$x^2-4x =0$

$x(x-4) =0$

$x_1=0;\ x_2=4$

Второе уравнение:

$\dfrac{3^{x^2-4x}}{2^{x^2 - 4x}} =-\dfrac{10}{3}$

$\left(\dfrac{3}{2}\right)^{x^2-4x} =-\dfrac{10}{3}$

На этом шаге понятно, что последнее уравнение не имеет корней, так как показательная функций не принимает отрицательных значений.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

ответ: 0 и 4

Answer 2

Объяснение:

$\displaystyle\\2\cdot9^{x^2-4x+1}+42\cdot6^{x^2-4x}-15\cdot4^{x^2-4x+1}=02\cdot9^{x^2-4x+1}+7\cdot6^{x^2-4x+1}-15\cdot4^{x^2-4x+1}=0$

разделим обе части уравнения на $4^{x^2-4x+1}\neq 0$

$\displaystyle\\2\cdot\bigg(\frac{9}{4} \bigg)^{x^2-4x+1}+7\cdot\bigg(\frac{3}{2}\bigg)^{x^2-4x+1}-15=0D=b^2-4ac=7^2-4\cdot2\cdot(-15)=49+120=169=13^21)~\bigg(\frac{3}{2}\bigg)^{x^2-4x+1}=\frac{-7-13}{4}$