ответ: 7.11. в ящику знаходиться 12 деталей, виготовлених заводом №1, 20 деталей – заводом №2 і 18 – заводом №3. ймовірність того, що деталь, виготовлена заводом №1, відмінної якості, дорівнює 0,9; для деталей, виготовлених на заводах №2 і №3, ці ймовірності відповідно дорівнюють 0,6 і 0,9. знайти ймовірність того, що взята навмання деталь виявиться відмінної якості.
7.12. в першій урні знаходиться 10 куль, 8 із яких білі; в другій урні 20 куль, із них 4 білі. із кожної урни навмання беруть по одній кулі, а потім із цих двох куль навмання беруть одну. знайти ймовірність того, що витягли білу кулю.
7.13. у кожній із трьох урн знаходиться 6 чорних і 4 білих кулі. із першої урни навмання витягли одну кулю і переклали її в другу урну, після цього із другої урни навмання витягли одну кулю і переклали в третю урну. знайти ймовірність того, що куля, навмання взята із третьої урни, буде білою.
в городе екатеринбург он ожил на своих похоронах
люди попадали в обмороки, когда он
7.14. ймовірність того, що під час роботи цифрової електронної машини відбудеться збій в арифметичному пристрої, в оперативній пам’яті, в інших пристроях, співвідносяться як 3: 2: 5. ймовірність того, що збій буде знайдено в арифметичному пристрої, в оперативній пам’яті, в інших пристроях відповідно дорівнює 0,8: 0,9: 0,9. знайти ймовірність того, що збій в машині буде знайдено.
7.15. продукція виготовляється на двох підприємствах і надходить на спільну базу. ймовірність виготовлення бракованої продукції для першого підприємства дорівнює 0,1, для другого – 0,2. перше підприємство здало на склад 100 одиниць продукції, друге – 400. знайти ймовірність того, що навмання взята зі складу одиниця продукції буде не бракованою.
7.16. на склад підприємства надходять деталі із трьох цехів. перший цех відправив 100 деталей, другий і третій – по 200. перший і другий цехи по 2% браку, третій – 1%. знайти ймовірність того, що навмання взята деталь бракована.
7.17. два верстати виготовляють деталі, які поступають на конвеєр. з першого верстата надійшло 400 деталей, а з другого на 50% більше. перший верстат дає 2% браку, другий – 3%. знайти ймовірність того, що навмання взята деталь з конвеєра бракована.
7.18. у першому ящику є 20 деталей, з яких 30% пофарбовано, у другому 10 деталей і 4% пофарбовано. знайти ймовірність того, що деталь, взята з навмання вибраного ящика, пофарбована.
7.19. в урні 4 білі і 4 чорні кульки. два гравці почергово виймають із урни по кульці, не повертаючи їх назад. виграє той гравець, котрий раніше витягне білу кульку. знайти ймовірність того, що: а) виграє перший гравець; б) виграє другий гравець.
7.20. маємо три урни. у першій міститься 6 білих і 4 чорних кульки, у другій – 8 білих і 2 чорних і в третій – 1 біла і 1 чорна. із першої урни навмання беруть три кульки, а із другої – дві і у третю урну. яка ймовірність після цього вийняти із третьої урни білу кульку?
7.21. серед n екзаменаційних білетів є п „щасливих”. студенти підходять за білетами один за одним. у кого більша ймовірність узяти „щасливий” білет: у того, хто підійшов першим, чи у того, хто підійшов другим?
8. формула байєса
якщо випробування проведено і в результаті нього подія а з’явилася, то умовна ймовірність рa(вk) може не дорівнювати р(вk). порівняння цих ймовірностей дозволяє переоцінити ймовірність гіпотези за умови, що подія а з’явилася. для цього використовують формулу байєса:
, k=1,2,…,n.
розв’язок типових
приклад 8.1. два автомати виготовляють однакові деталі, які надходять на спільний конвеєр. продуктивність першого автомата вдвічі більша за продуктивність другого. перший автомат випускає в середньому 60% деталей без браку, а другий – 84%. навмання взята з конвеєра деталь виявилась без браку. знайти ймовірність того, що ця деталь виготовлена першим автоматом.
розв’язання. позначимо через а подію – деталь без браку. можна сформулювати дві гіпотези: в1 – деталь виготовлена першим автоматом (оскільки перший автомат виготовляє вдвічі більше деталей, ніж другий): р(в1)=; в2 – деталь виготовлена другим автоматом, причому р(в2)=. умовна ймовірність того, що деталь буде без браку, якщо вона зроблена першим автоматом, дорівнює . умовна ймовірність того, що деталь буде без браку, якщо вона зроблена другим автоматом, дорівнює . ймовірність того, що навмання взята деталь виявиться без браку, за формулою повної ймовірності дорівнює:
В решении.
Объяснение:
1) х - время, за которое заполняется бассейн первой трубой;
у - время, за которое заполняется бассейн второй трубой;
Время первой на 6 часов меньше, чем второй.
Две трубы наполняют бассейн за 4 часа.
1 - объём воды всего бассейна.
По условию задачи система уравнений:
у - х = 6
1/х + 1/у = 1/4
Выразить у через х в первом уравнении, подставить выражение во второе уравнение и вычислить х:
у = 6 + х
1/х + 1/(6 + х) = 1/4
Умножить все части второго уравнения на 4х(6 + х), чтобы избавиться от дробного выражения:
4(6 + х) + 4х = х(6 + х)
Раскрыть скобки:
24 + 4х + 4х = 6х + х²
-х² - 6х + 8х + 24 = 0
-х² + 2х + 24 = 0/-1
х² - 2х - 24 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac = 4 + 96 = 100 √D=10
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(2-10)/2 = -4, отбросить, как отрицательный;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(2+10)/2
х₂=12/2
х₂=6 (часов) - время, за которое заполняется бассейн первой трубой;
у = 6 + х
у = 12 (часов) - за которое заполняется бассейн второй трубой;
Разница - 6 часов, верно.
2) х - время, за которое заполняется бассейн первой трубой;
у - время, за которое заполняется бассейн второй трубой;
Время первой на 9 минут меньше, чем второй (9 : 60 = 0,15 часа).
Две трубы наполняют бассейн за 20 минут (20 : 60 = 1/3 часа).
1 - объём воды всего бассейна.
По условию задачи система уравнений:
у - х = 0,15
1/х + 1/у = 1 : 1/3 → 1/х + 1/у = 3;
Выразить у через х в первом уравнении, подставить выражение во второе уравнение и вычислить х:
у = 0,15 + х
1/х + 1/(0,15 + х) = 3
Умножить все части второго уравнения на х(0,15 + х), чтобы избавиться от дробного выражения:
0,15 + х + х = 3*х(0,15 + х)
0,15 + 2х = 0,45х + 3х²
-3х² - 0,45х + 2х + 0,15 = 0
-3х² + 1,55х + 0,15 = 0/-1
3х² - 1,55х - 0,15 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac = 2,4025 + 1,8 = 4,2025 √D=2,05
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(1,55-2,05)/6 = -0,5/6 - отбросить, как отрицательный;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(1,55+2,05)/6
х₂=3,6/6
х₂=0,6 (часа) = 36 минут - время, за которое заполняется бассейн первой трубой;
у = 0,15 + х
у = 0,15 + 0,6 = 0,75 (часа) = 45 минут - время, за которое заполняется бассейн второй трубой;
Разница: 45 - 36 = 9 (минут), верно.