Question

решить уравнение с заменой неизвестного /8кл

Answer 1

1)

$\left(x^2-7\right)^2 - 6\left(x^2-7\right) - 16 = 0$

Введём замену: $x^2 - 7 = t\,,\ t\geqslant-7$.

Уравнение становится вот таким:

$t^2 - 6t - 16 = 0$

Используем теорему Виета:

$\begin{equation*} \begin{cases} t_1t_2 = -16 \\ t_1 + t_2 = 6 \end{cases} \end{equation*}\ \ \ \ \ \ \ \ \Bigg| t = -2;\ t = 8$

Получили два значения, которые управляют ОДЗ переменной t. Выполняем обратную замену:

$\left[ \begin{gathered} x^2 - 7 = -2 \\ x^2 - 7 = 8 \end{gathered}\ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \left[ \begin{gathered} x^2 = 5 \\ x^2 = 15 \end{gathered}\ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \left[ \begin{gathered} x = \sqrt{5} \\ x = -\sqrt{5} \\ x = \sqrt{15} \\ x = -\sqrt{15}\end{gathered}$

Уравнение имеет 4 решения.

ответ: $-\sqrt{15}\,;\ -\sqrt{5}\,;\ \sqrt{5}\,;\ \sqrt{15}$ .

2)

$5\cdot\left(\dfrac{x+3}{x+1}\right)^2 + 2\cdot \dfrac{x+3}{x+1} - 3 = 0$

Сразу установим, что  $\boldsymbol{x\neq -1}$, поскольку тогда знаменатель обратится в 0.

Вводим замену:  $\dfrac{x+3}{x+1} = t\,,\ t\in\mathbb{R}$ .

Уравнение принимает вид:

$5t^2 + 2t - 3 = 0\\ \\ D = b^2 - 4ac = 4 + 60 = 64\\ \\ t_1 = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-2 + 8}{10} = \dfrac{6}{10}\\ \\ \\ t_2 = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-2-8}{10} = \dfrac{-10}{10} = -1$

Теперь выполняем обратную замену:

$\left[ \begin{gathered} \dfrac{x+3}{x+1} = \dfrac{3}{5} \\ \\ \dfrac{x+3}{x+1} = -1 \end{gathered}\ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \left[ \begin{gathered} 5\left(x+3\right) = 3\left(x+1\right) \\ \\ x+3 = -\left(x+1) \end{gathered}$

Решим каждое уравнение отдельно. Начнём с верхнего:

$5\left(x+3\right) = 3\left(x+1\right)\\ \\ 5x + 15 = 3x + 3\\ \\ 5x - 3x = 3 - 15\\ \\ 2x = -12\\ \\ \boxed{\boldsymbol{x = -6}}$

И теперь решим нижнее:

$x + 3 = -\left(x + 1\right)\\ \\ x + 3 = -x - 1\\ \\ x + x = -1 - 3\\ \\ 2x = -4\\ \\ \boxed{\boldsymbol{x = -2}}$

ответ:  $-6\,;\ -2$ .