Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, 
, но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что 
, получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.
Для начала вспомним т. Виетта
для уравнения вида x²+px+q=0
выпоняется : x₁+x₂= -p; x₁*x₂=q
теперь решение:
1) x²-13x+q=0
x₁=12.5
x₁+x₂= -(-13)=13
12.5+x₂=13
x₂=0.5
x₁*x₂=12.5*0.5=6.25= q
тогда уравнение будет x²-13x+6.25=0
2) 10x²-33x+c=0
приведем его к стандартному виду
x²-(33/10)x+(c/10)=0
x²-3.3x+(c/10)=0
x₁=5.3 тогда 5.3+x₂=3.3; отсюда x₂= -2
c/10=5.3*(-2)=-10.6; Значит с= -106
Уравнение будет иметь вид 10x²-33x-106=0
3) x²+2x+q=0
x₁²-x₂²=12
(x₁-x₂)(x₁+x₂)=12
(x₁-x₂)*(-2)=12
x₁-x₂= -6
x₁=x₂-6
Теперь найдем корни
x₁+x₂=x₂-6+x₂=-2
2x₂=4
x₂=2; x₁= -4
тогда q=2*(-4)= -8
Уравнение примет вид x²+2x-8=0
его корни x₁²-x₂²=(-4)²-(2)²=16-4= 12
Дано:
ABCD - прямоугольник
P(ABCD) = 70см
S(ABCD) = 300см^2
Найти:
AB.
BC.
CD.
AD.
Пусть AB = x, тогда так как ABCD прямоугольник, то CD также равен x.
Аналогично, BC = AD = y.
P(ABCD) = 70 => AB + BC + CD + AD = 70 => 2x + 2y = 70 => x + y = 35
S(ABCD) = 300 => AB * BC = 300 => x * y = 300
Получили систему из двух уравнений:
1) x + y = 35
2) x * y = 300
1) y = 35 - x
2) x * (35 - x) = 300
1) y = 35 - x
2) -x^2 + 35x = 300
1) y = 35 - x
2) x^2 - 35x + 300 = 0
1) y = 35 - x
2) (x - 20) * (x - 15) = 0
1) y = 35 - x
2) x = 20 ИЛИ x = 15
При x = 20 => y = 15 (так как 35 - 20 = 15)
При x = 15 => н = 20 (так как 35 - 15 = 20)
Значит, стороны прямоугольника 15см и 20см с точностью до переименования.
ответ: 15см, 15см, 20см, 20см