Question

Разложи на множители многочлен

Answer 1

(x+1)(x-8)(x+3)

Объяснение:

x^3-4x^2-29x-24=x^3+x^2-5x^2-5x-24x-24=x^2(x+1)-5x(x+1)-24(x+1)=(x+1)(x^2-5x-24)=(x+1)(x^2-8x+3x-24)=(x+1)(x(x-8)+3(x-8))=(x+1)(x-8)(x+3)

Answer 2

$(x + 1)(x + 3)(x - 8)$

Объяснение:

Для разложения многочлена на множители найдем его корни (напомним, что корнями многочлена называются числа, которые превращают его в $0$).

Согласно следствию из теоремы Безу целые корни такого многочлена следует искать среди делителей свободного члена. Делителями числа $-24$ являются числа  $\pm 1,$  $\pm 2,$  $\pm 3,$  $\pm 4,$  $\pm 6,$  $\pm 8,$  $\pm 12,$  $\pm 24.$ Последовательно начиная подставлять их в указанной последовательности, убеждаемся, что одним из корней данного многочлена является число $-1.$ Это означает, что можно выделить линейный множитель, записав ${x^3} - 4{x^2} - 29x - 24 = (x + 1)P(x).$

Для нахождения $P(x)$ выполним деление ${x^3} - 4{x^2} - 29x - 24$ на $x + 1$ в столбик (см. рисунок). Получаем в частном квадратный трехчлен $P(x) = {x^2} - 5x - 24,$ корни которого легко найти с теоремы Виета. Сумма корней должна быть равна $5,$ а их произведение — $-24.$ Легко подобрать такую пару чисел: $-3$ и $8.$ Тогда ${x^2} - 5x - 24 = (x + 3)(x - 8),$ а исходный многочлен раскладывается на множители следующим : ${x^3} - 4{x^2} - 29x - 24 = (x + 1)(x + 3)(x - 8).$