Question

Решиет уравнение :
x^2 + y^2 = 4
x^3 + y^3 = -8

Answer 1

(0; –2), (–2; 0)

Объяснение:

Пускай $x + y = u, xy = v.$ Тогда

${x^2} + {y^2} = {(x + y)^2} - 2xy = {u^2} - 2v,\\{x^3} + {y^3} = (x + y)({x^2} - xy + {y^2}) = (x + y)({(x + y)^2} - 3xy) = u({u^2} - 3v).$

Данная система перепишется в виде

$\left\{ \begin{array}{l}{u^2} - 2v = 4,\\u({u^2} - 3v) = - 8.\end{array} \right.$

Из первого уравнения $v = \frac{{{u^2} - 4}}{2},$ тогда

$u\left( {{u^2} - \frac{{3({u^2} - 4)}}{2}} \right) = - 8, u \cdot \frac{{2{u^2} - 3{u^2} + 12}}{2} = - 8,\\ \\u({u^2} - 12) = 16, {u^3} - 12u - 16 = 0.$

По теореме Безу ищем целые корни такого уравнения среди делителей свободного члена, находим подходящее значение $u = - 2.$ Выполняя деление многочлена ${u^3} - 12u - 16$ на $u + 2$ в столбик, получаем: ${u^3} - 12u - 16 = (u + 2)({u^2} - 2u - 8).$ Квадратный трехчлен ${u^2} - 2u - 8$ имеет корни –2 и 4.

Таким образом, $u = - 2$ или $u = 4.$ Им соответствуют $v = 0$ или $v = 6.$

Делая обратную замену, получаем две системы: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 2,\\xy = 0,\end{array} \right.$ и $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 4,\\xy = 6.\end{array} \right.$ С теоремы, обратной теореме Виета, находим пары решений первой системы: (0; –2), (–2; 0). Вторая система решений не имеет.