сумма корней квадратного трехчлена равна его второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение - свободному члену .
в случае квадратного уравнения формулы виета имеют вид:
значимость теоремы виета заключается в том, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные многочлены от двух переменных и . теорема виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена.
. используя теорему виета, найти корни уравнения
решение. согласно теореме виета, имеем, что
подбираем значения и , которые удовлетворяют этим равенствам. легко видеть, что им удовлетворяют значения
и
ответ. корни уравнения ,
обратная теорема виета
если числа и удовлетворяют соотношениям , то они удовлетворяют квадратному уравнению , то есть являются его корнями.
. зная, что числа и - корни некоторого квадратного уравнения, составить само это уравнение.
решение. пусть искомое квадратное уравнение имеет вид:
тогда, согласно теореме виета, его коэффициенты связаны с корнями следующими соотношениями:
тогда
то есть искомое уравнение
ответ.
общая формулировка теоремы виета
если - корни многочлена (каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:
иначе говоря, произведение равно сумме всех возможных произведений из корней.
1. < var > x^3y^34z^22y=8x^3y^4x^2 < /var ><var>x3y34z22y=8x3y4x2</var>
2. < var > -2x^60,5x^2y^3=-x^8y^3 < /var ><var>−2x60,5x2y3=−x8y3</var>
3. < var > (-5z^2y^3)^3=-125z^6y^9 < /var ><var>(−5z2y3)3=−125z6y9</var>
4. < var > -0,03ab^3=-0,03*(-4)*(-2)^3=0.96 < /var ><var>−0,03ab3=−0,03∗(−4)∗(−2)3=0.96</var>
5. < var > (18a^3b^2c)(\frac{1}{6}ab^3c^2)(-\frac{1}{3}a^2bc^3)=-a^6b^6c^6 < /var ><var>(18a3b2c)(61ab3c2)(−31a2bc3)=−a6b6c6</var>
Объяснение:
Рад