Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m - любые действительные числа. Тогда 1) an am = an+m
2) anam=an−m
3) (an)m = anm
4) (ab)n = an bn
5) (ab)n=anbn
6) an > 0
7) an > 1, если a > 1, n > 0
8) an < am, если a > 1, n < m
9) an > am, если 0< a < 1, n < m В практике часто используются функции вида y = ax, где a - заданное положительное число, x - переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.Определение. Показательной функцией называется функция вида y = ax, где а — заданное число, a > 0, a≠1Показательная функция обладает следующими свойствами
1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел. Это свойство следует из того, что степень ax где a > 0, определена для всех действительных чисел x.
2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел. Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение ax = b, где а > 0, a≠1, не имеет корней, если b≤0, и имеет корень при любом b > 0.
3) Показательная функция у = ax является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 < a < 1. Это следует из свойств степени (8) и (9)
Построим графики показательных функций у = ax при a > 0 и при 0 < a < 1.Использовав рассмотренные свойства отметим, что график функции у = ax при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх. Если х < 0 и |х| увеличивается, то график быстро приближается к оси Oх (но не пересекает её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика функции у = ax при a > 0. Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.График функции у = ax при 0 < a < 1 также проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Ох. Если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика. Если х < 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх. Показательные уравненияРассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ax = ab где а > 0, a≠1, х — неизвестное. Это уравнение решается с свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, a≠1 равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.Решить уравнение 23x • 3x = 576 Так как 23x = (23)x = 8x, 576 = 242, то уравнение можно записать в виде 8x • 3x = 242, или в виде 24x = 242, откуда х = 2. ответ х = 2Решить уравнение 3х + 1 - 2 • 3x - 2 = 25 Вынося в левой части за скобки общий множитель 3х - 2, получаем 3х - 2(33 - 2) = 25, 3х - 2 • 25 = 25, откуда 3х - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2 ответ х = 2Решить уравнение 3х = 7х Так как 7x≠0 , то уравнение можно записать в виде 3x7x=1, откуда (37)x=1, х = 0 ответ х = 0Решить уравнение 9х - 4 • 3х - 45 = 0 Заменой 3х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t2 - 4t - 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t1 = 9, t2 = -5, откуда 3х = 9, 3х = -5. Уравнение 3х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения. ответ х = 2Решить уравнение 3 • 2х + 1 + 2 • 5x - 2 = 5х + 2х - 2 Запишем уравнение в виде 3 • 2х + 1 - 2x - 2 = 5х - 2 • 5х - 2, откуда 2х - 2 (3 • 23 - 1) = 5х - 2( 5 2 - 2 ) 2х - 2 • 23 = 5х - 2• 23 (25)x−2=1 x - 2 = 0 ответ х = 2Решить уравнение 3|х - 1| = 3|х + 3| Так как 3 > 0, 3≠1, то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3| Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х - 1)2 = (х + 3)2, откуда х2 - 2х + 1 = х2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1 Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения. ответ х = -1
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Будем искать коэффициенты разложения, предположив, что все они целые. Поскольку свободный член у исходного многочлена равен единице, свободные члены множителей будут либо оба 1, либо оба (-1). рассмотрим сначала случай, когда они оба = 1, если разложение получить не удастся, рассмотрим второй случай.
x^4+x^3-4x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1).
Если перемножить многочлены в правой части, должен получиться тот же многочлен, что и слева⇒ в левой и правой части одинаковые коэффициенты при одинаковых степенях.
Коэффициент при x^3 слева = 1, справа = a+b; получили уравнение
a+b=1
Коэффициент при x^2 слева = -4, справа = 2+ab; получили уравнение
ab=-6
Следовательно, a и b являются корнями квадратного уравнения
господину Виету); t=3 или t= - 2; пусть a=3; b=-2
Проверив, что при выбранных a и b совпадают коэффициенты и при x, убеждаемся в справедливости разложения
x^4+x^3-4x^2+x+1=(x^2+3x+1)(x^2-2x+1).
Если такого разложения недостаточно, можем разложить до скобок первой степени:
1) an am = an+m
2) anam=an−m
3) (an)m = anm
4) (ab)n = an bn
5) (ab)n=anbn
6) an > 0
7) an > 1, если a > 1, n > 0
8) an < am, если a > 1, n < m
9) an > am, если 0< a < 1, n < m
В практике часто используются функции вида y = ax, где a - заданное положительное число, x - переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.Определение. Показательной функцией называется функция вида y = ax, где а — заданное число, a > 0, a≠1Показательная функция обладает следующими свойствами
1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень ax где a > 0, определена для всех действительных чисел x.
2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение ax = b, где а > 0, a≠1, не имеет корней, если b≤0, и имеет корень при любом b > 0.
3) Показательная функция у = ax является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 < a < 1.
Это следует из свойств степени (8) и (9)
Построим графики показательных функций у = ax при a > 0 и при 0 < a < 1.Использовав рассмотренные свойства отметим, что график функции у = ax при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х < 0 и |х| увеличивается, то график быстро приближается к оси Oх (но не пересекает её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика функции у = ax при a > 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.График функции у = ax при 0 < a < 1 также проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Ох.
Если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
Если х < 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.
Показательные уравненияРассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ax = ab где а > 0, a≠1, х — неизвестное. Это уравнение решается с свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, a≠1 равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.Решить уравнение 23x • 3x = 576
Так как 23x = (23)x = 8x, 576 = 242, то уравнение можно записать в виде 8x • 3x = 242, или в виде 24x = 242, откуда х = 2.
ответ х = 2Решить уравнение 3х + 1 - 2 • 3x - 2 = 25
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3х - 2, получаем 3х - 2(33 - 2) = 25, 3х - 2 • 25 = 25,
откуда 3х - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
ответ х = 2Решить уравнение 3х = 7х
Так как 7x≠0 , то уравнение можно записать в виде 3x7x=1, откуда (37)x=1, х = 0
ответ х = 0Решить уравнение 9х - 4 • 3х - 45 = 0
Заменой 3х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t2 - 4t - 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t1 = 9, t2 = -5, откуда 3х = 9, 3х = -5.
Уравнение 3х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
ответ х = 2Решить уравнение 3 • 2х + 1 + 2 • 5x - 2 = 5х + 2х - 2
Запишем уравнение в виде
3 • 2х + 1 - 2x - 2 = 5х - 2 • 5х - 2, откуда
2х - 2 (3 • 23 - 1) = 5х - 2( 5 2 - 2 )
2х - 2 • 23 = 5х - 2• 23
(25)x−2=1
x - 2 = 0
ответ х = 2Решить уравнение 3|х - 1| = 3|х + 3|
Так как 3 > 0, 3≠1, то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х - 1)2 = (х + 3)2, откуда
х2 - 2х + 1 = х2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
ответ х = -1