Докажите, что: а) четырёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, делится на 11 б) трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, делится на 37; не делится на 11. , заранее огромное !
1) Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Пусть - четырехзначное число, записанное одинаковыми цифрами (х = 1, 2, ...9) Тогда на четных местах: х+х = 2х, на нечетных местах: х+х = 2х. суммы одинаковые, значит делится на 11. 2) ххх - трехзначное число, записаноое одинаковыми цифрами (х = 1, 2,...9). На четных местах: х, на нечетных местах: х+х = 2х. 2х ≠ х, значит число ххх на 11 не делится. Число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь. |3x + 4x - 7x| = |0| = 0 - делится на любое число, в т.ч. и на 37.
Проведем ко всем точкам касания радиусы. Как известно, они будут перпендикулярами к касательным. Рассмотрим выделенную фигуру (рис.1). Она состоит из двух равных прямоугольных треугольников. Поэтому отрезки а1 равны (рис.2). Аналогично рассматриваем еще фигуру (рис.3). И т.д. В результате получаем множество равных между собой пар отрезков (рис.4) Тогда периметр отрезанных треугольников: р=р1+р2+р3=(a1+a2+b1+b2)+(a3+a4+c1+c2)+(a5+a6+d1+d2) Периметр исходного треугольника: Р=(с1+a3+a2+b1)+(b2+a1+a6+d2)+(d1+a5+a4+c2) Они состоят из одинаковых слагаемых. Значит, они равны. Р=р ответ: периметр исходного треугольника равен сумме периметров отрезанных треугольников
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Из отрицательного числа нельзя извлечь квадратный корень. Решаем неравенство -2х²+5х+2≥0 Умножим на (-1), знак неравенства изменится на противоположный 2х²-5х-2≤0 Находим нули функции или корни уравнения 2х²-5х-2=0 D=(-5)²-4·2(-2)=25+16=41 x₁=(5-√41)/4 x₂=(5+√41)/4 Обе параболы и у=-2х²+5х+2 и у=2х²-5х-2 пересекают ось ох в точках x₁=(5-√41)/4 и x₂=(5+√41)/4 Только у первой параболы ветви направлены вниз и ответить надо на вопрос, когда она расположена выше оси ох ( у неравенства знак ≥0). У второй ветви вверх и ответить надо на вопрос, при каких х она расположена ниже оси ох ( неравенство сменило знак и теперь знак ≤0) А ответ и на первом рисунке и на втором один и тот же: х∈[(5-√41)/4; (5+√41)/4]
Можно вместо графиков парабол расставлять знаки (+ и -) Это уже метод интервалов. Любая функция проходя через точку, в которой она равна 0, меняет свой знак с + на - или с - на + Для неравенства -2х²+5х+2≥0 метод интервалов даст такую картинку знаков: так как неравенство нестрогое, то нули функции отмечаем сплошным, заполненным кружком, а здесь это [] - + - [х₁][х₂] ответом служит отрезок от точки х₁ до точки х₂ ( там где знак +) Для неравенства 2х²-5х-2≤0 метод интервалов даст такую картинку знаков: + - + [х₁][х₂] ответом является отрезок от точки х₁ до точки х₂ ( там где знак -) ответ. [(5-√41)/4; (5+√41)/4]
Пусть - четырехзначное число, записанное одинаковыми цифрами (х = 1, 2, ...9)
Тогда на четных местах: х+х = 2х, на нечетных местах: х+х = 2х. суммы одинаковые, значит делится на 11.
2) ххх - трехзначное число, записаноое одинаковыми цифрами (х = 1, 2,...9).
На четных местах: х, на нечетных местах: х+х = 2х. 2х ≠ х, значит число ххх на 11 не делится.
Число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь.
|3x + 4x - 7x| = |0| = 0 - делится на любое число, в т.ч. и на 37.