Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента при котором значение функции = 0.
1) y = x² - 6x -27 ;
y=0; x² - 6x -27 = 0;
D = b² - 4ac = 6² - 4*1*(-27) = 36 + 108 = 144 = 12²;
x₁ = (-b + √D)/2a = (6 + 12)/2 = 18/2 = 9;
x₂ = (-b - √D)/2a = (6 - 12)/2 = -6/2 = -3;
Нулями функции y = x² - 6x -27 являются значения x₁ = 9; x₂ = -3;
2) y = x² - 5x +8;
y = 0; x² - 5x +8 = 0;
D = b² - 4ac = 5² - 4*1*8 = 25 - 32 = -7; D<0.
Дискриминант меньше нуля. Квадратное уравнение не имеет корней. Функция y = x² - 5x +8 не имеет нулей.
а) нули функции: х = -1, х = 7;
б) промежутки, на которых функции возрастает и убывает:
от - ∞ до х = 3 убывает и на участке от х = 3 до + ∞ возрастает;
в) промежутки, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения:
- функция положительная на участке от - ∞ до х = -1 и на участке от х = 7 до +∞;
- функция отрицательная на промежутке между нулями функции от х = -1 до х = 7;
г) наименьшее значение функции у = -16.
Объяснение:
1) Уравнение функции является приведённым.
Находим его корни:
х1,2 = +3 ± √ 9 -(-7) = 3 ± 4.
х1 = 7,
х2 = -1.
Проверяем полученные корни:
7 * (-1) = - 7 - равно свободному члену;
7 - 1 = 6 - равно второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком.
Корни найдены верно.
Таким образом, нули функции:
х = -1 и х = 7.
2) Это значит, что график функции у = х2 – 6х – 7 пересекает ось х в точках х = -1 и х = 7.
3) Графиком данном функции является парабола (т.к. х^2), ветви которой направлены вверх (коэффициент при х^2 - положительный, а именно: +1), это значит, что:
- на участке от - ∞ до х = -1 - функция положительная;
- на промежутке между нулями функции от х = -1 до х = 7 - отрицательная;
- на участке от х = 7 до +∞ - положительная.
4) Наименьшим значением данной функции является координата y вершины параболы.
Координаты вершины параболы:
х = - b/2a = 6/2 = 3
y = c - b^2/4a = - 7 - (-6)^2/4 = - 7 - 9 = - 16.
Проверим полученные значения, для чего в первоначальное уравнение подставим вместо х его значение:
у = х2 – 6х – 7 = 3*3 - 6*3 - 7 = 9 - 18 - 7 = - 16; сходится с расчетом; значит, координаты вершины параболы найдены верно.
Поэтому есть все основания ответить на последние вопросы.
5) Функция убывает на участке от - ∞ до х = 3 и возрастает на участке от х = 3 до + ∞.
6) Наименьшее значение функции:
y = -16.
а) нули функции: х = -1, х = 7;
б) промежутки, на которых функции возрастает и убывает:
от - ∞ до х = 3 убывает и на участке от х = 3 до + ∞ возрастает;
в) промежутки, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения:
- функция положительная на участке от - ∞ до х = -1 и на участке от х = 7 до +∞;
- функция отрицательная на промежутке между нулями функции от х = -1 до х = 7;
г) наименьшее значение функции у = -16.
