Question

Докажите тождества cos альфа=sin альфа * ctg альфа 1+tg альфа/1+ctg альфа=tg альфа tg^2 альфа-sin^2альфа=tg^2 альфа*sin^2 альфа

Answer 1

$1.\; sin \alpha \cdot ctg \alpha =sin \alpha \cdot \frac{cos \alpha }{sin \alpha }=\frac{sin \alpha \cdot cos \alpha }{sin \alpha }=cos \alpha ,\; cos \alpha =cos \alpha \\\\2.\; \frac{1+tg \alpha }{1+ctg \alpha }=\frac{1+\frac{sin \alpha }{cos \alpha }}{1+\frac{cos \alpha }{sin \alpha }}=\frac{(cos \alpha +sin \alpha )\cdot sin \alpha }{(sin \alpha +cos \alpha )\cdot cos \alpha }=\frac{sin \alpha }{cos \alpha }=tg \alpha ,\; \; tg \alpha =tg \alpha \\\\3.\; \; tg^2 \alpha -sin^2 \alpha =$
  $=\frac{sin^2 \alpha }{cos^2 \alpha }-sin^2 \alpha =\frac{sin^2 \alpha -cos^2 \alpha \cdot sin^2 \alpha }{cos^2 \alpha }=\frac{sin^2 \alpha (1-cos^2 \alpha )}{cos^2 \alpha }=\\\\=\frac{sin^2 \alpha \cdot sin^2 \alpha }{cos^2 \alpha }=tg^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha$