Question

Нужно исследовать функцию y=3/x + 2

Answer 1

$f(x)= \frac{3}{x}+2$
1. область определения и значений функции
$x \neq 0; \\ x\in(-\infty;0)\bigcup(0;+\infty);\\$
$y\in(-\infty;+\infty);$
2.парность и не парность, периодичность(не периодичная)
парност когда f(-x)=f(x);
непарность когда f(-x)=-f(x);
$f(-x)=- \frac{3}{x}+2;\\ f(-x) \neq f(x);\\ f(-x) \neq -f(x)\\$
если бы не 2, то была бы непарною, а так, сама функция на 2 поднята вверх
3. поищем границы, для нахождения асимптот
$\lim_{x \to -\infty}( \frac{3}{x}+2 ) =(\frac{3}{-\infty}+2=(2-0)-$подходит к значению 2 "снизу"
$\lim_{x \to +\infty}( \frac{3}{x}+2 )=( \frac{3}{+\infty+2})=(2+0))$ подходит к значению 2 сверху, значит у=2 горизонтальная асимптота на $\infty$
посмотрим, как ведет себя функция у разрывов, он у нас один, х=0,
посмотрим чуть-чуть "левее" и "правее" на бескон малую величину
$\lim_{x \to -0}( \frac{3}{x}+2 )=( \frac{3}{-0}+2)=-\infty;$
$\lim_{x \to +\infty}( \frac{3}{x}+2 )=( \frac{3}{+0}+2 )=+\infty$
это разрыв второго рода, у нас функция левее оси ординат стремиться к $-\infty$ а справа к$+\infty$
4.производные и экстремумы
$y'= -\frac{3}{x^2} ;\\ y'=0; ==x^2-\infty(\{\pm\infty}^{2}\})$
у нас нету єкстремумов, лишь точки разрыва, причем функция постоянно
падает, на всей области определения( при $x\in(-\infty;0)\bigcup(0;+\infty)$
5. можно ещё на вогнутость(выпуклость) и точки перегина посмотреть, для этого вторая производная берёться и приравниветься к 0
$f''(x)=(f'(x))'= \frac{6}{x^3}$
опять точек перегина нет, лишь разрыв
но при x<0, f''(x)<0=> f(x) выпукла вверх
при x>0, f''(x)>0 =>f(x)вогнута вниз
$\textcopyright$