Question

Найдите сумму прогрессии если bn= (-1)^n*12/2^n+1 ответ должен быть -2

Answer 1

$b_n = (-1)^n\cdot \frac{12}{2^{n+1}}$

Сумма геометрической прогрессии находиться по следующей формуле:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Найдём b₁

$b_1 = (-1)^1\cdot\frac{12}{2^{1+1}} = \frac{-12}{4} = -3$

q - знаменатель геометрической прогрессии - найдём из формулы n-ого члена геометрической прогрессии:

$b_n = b_1\cdot q^{n-1}$

Возьмём n = 2. Найдём по формуле из условия b₂. Далее, зная значение b₂, мы сможем найти q по формуле n-ого члена

$b_2 = (-1)^2 \cdot \frac{12}{2^{2+1}} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\\\\b_2 = b_1\cdot q^{2-1}\\\\\frac{3}{2} = -3 \cdot q \Rightarrow q = -\frac{1}{2}$

Так как |q| = 1/2 < 1 то формула суммы примет следующий вид:

$S = \frac{b_1}{1-q}\\\\S = \frac{-3}{1-(-\frac{1}{2})} = \frac{-3}{1+\frac{1}{2}} = -3 : \frac{3}{2} = -3\cdot \frac{2}{3} = -2$

ответ: -2