x^4-7x^2-2x+20>0
добавив и вычев x^2, а число 20 представив в виде суммы 16+1+3, получим равносильное неравенство
x^4-8x^2+x^2-2x+16+1+3>0
группируя, получим равносильное неравенство
(x^4-8x^2+16)+(x^2-2x+1)+3>0
используя формулу квадрата двучлена, получим равносильное неравенство
(x^2-4)^2+(x-1)^2+3>0
которое очевидно выполняется, так как в левой части сумма квадратов двух выражений (неотрицательных) и положительного числа
(квадрат любого выражения неотрицателен!!)
(сумма неотрицательных выражений неотрицательное выражение)
(сумма неотрицательного и положительного положительное выражение)
Доказано
(Х² - 3 * Х + 2) * (Х² - 7 * Х + 12) = 4
(Х - 1) * (Х - 2) * (Х - 3) * (Х - 4) = 0
(Х² - 5 * Х + 4) * (Х² - 5 * Х + 6) = 4
Сделаем замену. Пусть Х² - 5 * Х = Т. Тогда уравнение принимает вид
(Т + 4) * (Т + 6) = 4
Т² + 10 * Т + 20 = 0
Т₁₂ = -5 ± √ 5
Получаем два квадратных уравнения
1) Х² - 5 * Х = -5 - √ 5
Х² - 5 * Х + (5 + √ 5) = 0
D = (-5)² - 4 * (5 + √ 5) = 5 - 4 * √ 5 < 0
Действительных корней нет.
2) Х² - 5 * Х = -5 + √ 5
Х² - 5 * Х + (5 - √ 5) = 0
D = (-5)² - 4 * (5 - √ 5) = 5 + 4 * √ 5
Х₁₂ = (5 ± √(5 + 4 * √ 5))/2
Sn=(2*a1+(n-1)*d)*n/2=40
(-4+5*n-5)*n=80
5*n^2-9*n-80=0
D=81+4*5*80=1681
n1=(9-41)/10 - не подходит, т.к. число не целое
n2=(9+41)/10=5
ответ: 5