Пример 1. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.
Подставляем в формулу (1) значения: K=10K=10, N−K=8N−K=8, итого N=10+8=18N=10+8=18, выбираем n=5n=5 шаров, из них должно быть k=2k=2 белых и соответственно, n−k=5−2=3n−k=5−2=3 черных. Получаем:
P=C210⋅C38C518=45⋅568568=517=0.294.P=C102⋅C83C185=45⋅568568=517=0.294.
Пример 2. В урне 5 белых и 5 красных шаров. Какова вероятность вытащить наудачу оба белых шара?
Здесь шары не черные и белые, а красные и белые. Но это совсем не влияет на ход решения и ответ.
Подставляем в формулу (1) значения: K=5K=5 (белых шаров), N−K=5N−K=5 (красных шаров), итого N=5+5=10N=5+5=10 (всего шаров в урне), выбираем n=2n=2 шара, из них должно быть k=2k=2 белых и соответственно, n−k=2−2=0n−k=2−2=0 красных. Получаем:
P=C25⋅C05C210=10⋅145=29=0.222.P=C52⋅C50C102=10⋅145=29=0.222.
Пример 3. В корзине лежат 4 белых и 2 черных шара. Из корзины достали 2 шара. Какова вероятность, что они одного цвета?
Здесь задача немного усложняется, и решим мы ее по шагам. Введем искомое событие
A=A= (Выбранные шары одного цвета) = (Выбрано или 2 белых, или 2 черных шара).
Представим это событие как сумму двух несовместных событий: A=A1+A2A=A1+A2, где
A1=A1= (Выбраны 2 белых шара),
Заметим сначала, что среди начального набора только a нечетное. Поэтому после одного шага первое число (a+1)b станет четным (здесь и (a+1) и b четные, а хватило бы четности одного из них), второе и третье числа (b+1)c и (c+1)d останутся четными (в них есть четный множитель), зато четвертое число (d+1)a станет нечетным. То есть четверка (нечет, чет, чет, чет) превратилась в (чет, чет, чет, нечет). При этом неважно, оставляем мы сами числа или заменяем их на последнюю цифру, поскольку четность или нечетность числа определяется только четностью или нечетностью последней цифры. Проанализировав ситуацию, видим, что при следующем шаге нечетным будет по-прежнему одно число - в данном случае (c+1)d, далее таким будет (b+1)c, и так далее.
Короче, если не вдаваться в эти детали, рассуждение можно провести проще: в каждое из этих чисел - (a+1)b, (b+1)c, (c+1)d, (d+1)a в качестве множителя входит одно из чисел a, b, c, d. Если хотя бы три из них четные, то и хотя бы три из этих произведений будут четными.
Нас же спрашивают про четверку 1, 3, 6, 7, в которой четных чисел меньше чем три (там всего лишь одно четное число). Вывод: такая четверка получиться не может.
